Tip:
Highlight text to annotate it
X
מהי הוכחה?
ומדוע היא כל כך חשובה במתמטיקה?
הוכחות מספקות בסיס מוצק למתמטיקאים,
לוגיקאים, סטטיסטיקאים, כלכלנים, ארכיטקטים, מהנדסים ורבים אחרים
כדי לבנות את התיאוריות שלהם וכדי לבחון אותן.
והן פשוט מגניבות!
נתחיל בהתחלה.
אציג בפניכם בחור בשם אוקלידס.
שם מגניב. אה?
הוא חי ביוון לפני כ-2,300 שנים,
והוא נחשב ע"י רבים כאבי הגיאומטריה.
אז אם אתם תוהים לאן לשלוח את מכתבי ההערצה הגיאומטריים שלכם,
לאוקלידס מאלכסנדריה מגיעות תודות על ההוכחות.
אוקלידס לא ידוע כממציא או מגלה בתחום המתמטיקה
אבל הוא עשה מהפכה בדרך הכתיבה שלה,
ההצגה שלה והמחשבה עליה.
אוקלידס הפך את המתמטיקה לפורמלית כשקבע את חוקי המשחק.
חוקי המשחק האלה נקראים אקסיומות.
ברגע שהחוקים ידועים,
אוקלידס אומר שיש להשתמש בהם כדי להוכיח כל טענה שאתם חושבים שהיא נכונה.
אם אינכם מצליחים להוכיח, אז המשפט או הרעיון שלכם
עלולים להיות שקריים.
ואם המשפט שלכם שקרי, אז כל המשפטים שמתבססים עליו
עלולים גם הם להיות שקריים.
כמו שקורה תומכת אחת שלא מונחת כראוי עלולה לגרום לקריסת הבניין כולו.
הוכחות הן בסך הכל:
שימוש בחוקים מבוססים היטב כדי להוכיח מעבר לכל ספק שמשפט כלשהו נכון.
ואז משתמשים במשפטים האלה כמו באבני בניין
כדי לבנות את המתמטיקה.
נבדוק דוגמא.
נניח שאני רוצה להוכיח ששני המשולשים האלה
הם באותו גודל ובאותה צורה.
במילים אחרות, הם חופפים.
דרך אחת היא לכתוב הוכחה
שמראה שכל שלוש הצלעות של משולש אחד
חופפות לכל שלוש הצלעות של המשולש השני.
ואיך נוכיח זאת?
ראשית, אני אכתוב את מה שידוע לנו.
אנחנו יודעים שהנקודה M היא האמצע של AB.
אנחנו גם יודעים שהצלעות AC ו-BC כבר חופפות.
נבדוק כעת מה משמעות נקודת האמצע?
למרבית המזל, אני יודע מהי ההגדרה של נקודת אמצע.
היא פשוט הנקודה שנמצאת באמצע.
ופירוש הדבר הוא ש-AM ו-BM הם באותו האורך,
מכיוון ש-M נמצאת בדיוק באמצע של AB.
במילים אחרות, הצלעות התחתונות של שני המשולשים שלנו חופפות.
נרשום זאת כשלב מספר 2.
נהדר! בנתיים יש לנו שתי זוגות של צלעות חופפות.
הצלע האחרונה קלה.
הצלע השלישית של המשולש השמאלי היא CM,
והצלע השלישית של המשולש הימני היא,
ובכן, גם כן CM.
למשולשים יש צלע משותפת.
וכמובן שהיא חופפת לעצמה.
זה נקרא תכונת הרפלקסיביות.
כל דבר חופף לעצמו.
נרשום זאת כשלב מספר 3.
טדה! הרגע הוכחתם שכל שלוש הצלעות של המשולש השמאלי
חופפות לכל שלוש הצלעות של המשולש הימני.
בנוסף, שני המשולשים חופפים
לפי משפט צלע-צלע-צלע לחפיפת משולשים.
וכשההוכחה מסתיימת, אני אוהב לעשות את מה שאוקילדס היה נוהג לעשות.
הוא סימן את סיום ההוכחה באותיות QED (ובעברית מ.ש.ל.).
זהו קיצור של הלטינית "quod erat demonstrandum,"
שפירושו המילולי הוא
"מה שרצינו להוכיח."
אבל אני מפרש זאת כ"תראו מה הצלחתי לעשות כרגע!"
אני שומע את המחשבות שלכם:
למה לנו ללמוד הוכחות?
סיבה אחת היא שהן יכולות לאפשר לכם לנצח בכל ויכוח.
אברהם לינקולן, אחד מגדולי המנהיגים של ארה"ב בכל הזמנים,
נהג לשמור עותק של הספר "יסודות" של אוקלידס על השידה לצד מיטתו
כדי לשמור על חדות שכלו.
סיבה נוספת היא שתוכלו להרוויח מיליון דולר.
כן. שמעתם נכון.
מיליון דולר.
זהו הפרס שמכון קליי למתמטיקה במסצ'וסטס
מוכן לשלם לכל מי שיוכיח אחד מהמשפטים הלא מוכחים הרבים
הנקראים "בעיות המילניום."
כמה משפטים כאלה הוכחו בשנות ה-90 של המאה שעברה ובשנות האלפיים.
אבל מעבר לכסף ולוויכוחים,
ההוכחות נמצאות בכל מקום.
הם מהוות בסיס לארכיטקטורה, אומנות, תכנות ואבטחת האינטרנט.
אם אף אחד לא היה יכול להבין הוכחות או לייצר אותן,
לא היינו יכולים להתקדם בתחומים חיוניים אלה.
ולבסוף, ללא הוכחות לא היה קיימים מחשבים וטלפונים ניידים.
הייתם מוכנים לוותר עליהם? מ.ש.ל.