Tip:
Highlight text to annotate it
X
כשהייתי בכיתה ד', המורה אמר לנו:
"מספר המספרים הזוגיים זהה למספר המספרים הטבעיים."
"באמת?" חשבתי. ובכן, שניהם אינסופיים, אז אני מניח שמספרם זהה.
אבל מצד שני, המספרים הזוגיים הם רק חלק מהמספרים הטבעיים. יש גם מספרים אי זוגיים,
אז חייבים להיות יותר מספרים טבעיים. לא?
כדי לראות למה התכוון המורה שלי, נחשוב מה המשמעות של שתי קבוצות באותו גודל.
כשאני אומר "יש לי אותו מספר אצבעות ביד ימין וביד שמאל", למה אני מתכוון?
כמובן, יש לי 5 אצבעות בכל יד, אך העניין עוד יותר פשוט.
אני לא צריך לספור. אני רק צריך לוודא שאני יכול להתאים ביניהן, אחת לאחת.
למעשה, אנחנו חושבים שבעת העתיקה חלק מהשפות שלא כללו מילים
עבור מספרים גדולים מ-3 השתמשו בקסם הזה. לדוגמא, אם הוצאתם כבשה מהדיר למרעה
תוכלו לעקוב אחר מספר הכבשים שיצאו אם תניחו בצד אבן עבור כל כבשה שיצאה,
ואז תחזירו אחת אחת את האבנים כשהכבשים יחזרו מהמרעה.
וכך תדעו אם חסרה כבשה ללא צורך בספירה.
דוגמא נוספת לכך שהתאמה בסיסית יותר מספירה,
אם אני מרצה לפני אולם מלא, שבו כל הכסאות תפוסים, ואף אחד לא עומד,
אני יודע שמספר הכסאות זהה למספר האנשים בקהל,
למרות שאני לא יודע כמה כסאות או אנשים ישנם.
וכך, כשאנחנו אומרים ששתי קבוצות הן באותו גודל, אנחנו מתכוונים
שיש דרך לבצע התאמה חד חד ערכית בין האיברים של שתי הקבוצות .
וכך המורה הראה לנו את המספרים הטבעיים ערוכים בשורה, ומתחת לכל מספר הוא כתב את המספר מוכפל ב-2.
השורה התחתונה מכילה את כל המספרים הזוגיים, ויש לנו התאמה חד חד ערכית בין השורות.
כלומר, מספר המספרים הזוגיים זהה למספר המספרים הטבעיים.
אבל איך זה יכול להיות? המספרים הזוגיים הם קבוצה חלקית של קבוצת המספרים הטבעיים.
אבל האם זה משכנע אתכם שמספר האצבעות בידי הימנית שונה ממספר האצבעות בידי השמאלית?
כמובן שלא. אם התאמה בדרך מסויימת נכשלת,
זה לא מוכיח לנו שום דבר.
אם מוצאים דרך אחת שבה יש התאמה חד חד ערכית בין איברי שתי הקבוצות
אז אנחנו אומרים שמספר האיברים בשתי הקבוצות זהה.
האם אתם יכולים להכין רשימה של כל השברים? זאת משימה קשה, יש המון שברים!
ולא ברור מי מהם יהיה ראשון, או איך מוודאים שכל השברים מופיעים ברשימה.
עם זאת, ישנה דרך מתוחכמת להכין רשימה של כל השברים.
הראשון שביצע זאת היה גאורג קנטור, בסוף המאה ה-19.
ראשית, נכניס את כל השברים לטבלה. כולם נמצאים שם. לדוגמא, תוכלו למצוא את 117/243,
במשבצת שבשורה 117 ועמודה 243.
כעת נהפוך את הטבלה לרשימה. נתחיל בפינה השמאלית העליונה ונתקדם הלוך ושוב באלכסונים,
ונדלג על שברים, כמו 2/2, שמייצגים מספר שכבר בחרנו.
וכך קיבלנו רשימה של כל השברים. ומשמעות הדבר היא שיצרנו התאמה חד חד ערכית
בין המספרים הטבעיים והשברים, למרות שחשבנו שאולי אמורים להיות יותר שברים.
אוקי, נעבור כעת לחלק המעניין באמת.
יתכן שידוע לכם שלא כל המספרים הממשיים, כלומר, לא כל המספרים על ציר המספרים, הם שברים.
שורש ריבועי של 2, והמספר פאי, הם דוגמאות לכך.
המספרים האלו נקראים מספרים אי רציונליים. לא בגלל שהם משוגעים אלא מכיוון שהשברים
הם יחס (ratio) בין מספרים טבעיים, ולכן הם נקראים מספרים רציונליים. ושאר המספרים הם אי רציונליים.
המספרים האי רציונליים מיוצגים ע"י מספרים עשרוניים אינסופיים שאינם מחזוריים.
האם נוכל לבצע התאמה חד חד ערכית בין המספרים הטבעיים לקבוצת כל המספרים העשרוניים,
הרציונליים והאי רציונליים? כלומר, האם נוכל להכין רשימה של כל המספרים העשרוניים?
קנטור הוכיח שלא ניתן להכין רשימה כזו, לא רק שאנחנו לא יודעים איך, אלא שזה בלתי אפשרי.
נניח שאתם טוענים שהצלחתם להכין רשימה של כל המספרים העשרוניים. אראה לכם שלא הצלחתם.
אציג בפניכם מספר עשרוני שלא נמצא ברשימה שלכם.
אני אבנה את המספר העשרוני שלי ספרה אחר ספרה.
עבור הספרה הראשונה שלי, אבדוק מהי הספרה הראשונה במספר הראשון ברשימה שלכם.
אם היא 1, הספרה שלי תהיה 2. אחרת - הספרה שלי תהיה 1.
עבור הספרה השניה במספר שלי, אבדוק את הספרה השניה במספר השני ברשימה שלכם.
ושוב, אם הספרה שלכם היא 1, הספרה שלי תהיה 2. אחרת - הספרה שלי תהיה 1.
מבינים איך זה הולך? המספר העשרוני שבניתי לא יכול להופיע ברשימה שלכם.
למה? האם הוא יכול להופיע, למשל, במקום ה-143 ברשימה שלכם? לא, מכיוון שהמקום ה-143 במספר שלי
שונה מהמקום ה-143 במספר ה-143 ברשימה שלכם. ככה בניתי אותו.
ולכן, הרשימה שלכם לא שלמה. היא לא כוללת את המספר העשרוני שלי.
ולכל רשימה שתציגו בפני, אני יכול לבצע את אותו טריק, ולבנות מספר עשרוני שלא מופיע ברשימה שלכם.
וכך הגענו למסקנה המפתיעה הבאה:
לא ניתן להכין רשימה של המספרים העשרוניים. הם מייצגים אינסוף גדול יותר מהאינסוף של המספרים הטבעיים.
וכך, למרות שאנחנו מכירים רק מספר קטן של מספרים אי רציונליים, כמו שורש ריבועי של 2 או פאי,
האינסוף של כל המספרים האי רציונליים הוא למעשה יותר גדול מהאינסוף של השברים.
מישהו אמר פעם שהמספרים הרציונליים - השברים - הם כמו הכוכבים בשמי הלילה,
המספרים האי רציונליים הם כמו החשיכה.
קנטור הראה גם שעבור כל קבוצה אינסופית, קבוצה הכוללת את כל תתי הקבוצות של הקבוצה המקורית
מייצגת אינסוף גדול יותר מהאינסוף של הקבוצה המקורית. פירוש הדבר הוא, שברגע שיש אינסוף אחד,
ניתן תמיד ליצור אינסוף גדול יותר אם נבנה את כל תתי הקבוצות של הקבוצה הקודמת.
ואז אינסוף עוד יותר גדול אם ניצור קבוצה של כל תתי הקבוצות של הקבוצה הבאה בתור. וכן הלאה.
וכך, יש מספר אינסופי של אינסופים.
אם זה נשמע לכם מוזר, אתם אינכם לבדכם. חלק מהמתמטיקאים הגדולים ביותר בתקופתו של קנטור
מצאו את הרעיונות האלה מטרידים ביותר. הם ניסו להפוך את האינסופים השונים ללא רלוונטיים,
ולגרום למתמטיקה להסתדר איכשהו בלעדיהם.
קנטור עצמו הוכפש באופן אישי, והוא סבל מדיכאון קשה,
ובילה את המחצית השניה של חייו כשהוא נכנס ויוצא מבתי חולים לחולי נפש.
אבל בסופו של דבר הרעיונות שלו זכו להצלחה. וכיום, הם נחשבים לרעיונות יסודיים ומופלאים.
כל המתמטיקאים העוסקים במחקר מקבלים את הרעיונות האלה, וכל תלמיד קולג' למתמטיקה לומד אותם,
ואני הסברתי לכם אותם בכמה דקות.
ויום אחד, אולי, כל אדם יכיר אותם.
ויש עוד. הרגע ראינו שקבוצת המספרים העשרוניים - כלומר, המספרים הממשיים -
היא אינסוף גדול יותר מקבוצת המספרים הטבעיים. קנטור תהה האם יש אינסופים
מגדלים שונים בין שני האינסופים האלה. הוא לא האמין שהם קיימים אך לא הצליח להוכיח את הדבר.
ההשערה של קנטור ידועה כהשערת הרצף.
בשנת 1900, המתמטיקאי הגדול דייוויד הילברט החשיב את השערת הרצף
לבעיה המתמטית הלא פתורה החשובה ביותר.
במאה ה-20 נמצא פתרון לבעיה, בצורה לגמרי בלתי צפויה ומהפכנית.
בשנות ה-20 של המאה ה-20, קורט גדל הראה שלא ניתן להפריך את השערת הרצף.
ואז, בשנות ה-60 של המאה ה-20, פול ג'. כהן הראה שלא ניתן להוכיח שהשערת הרצף נכונה.
משמעות הדברים היא שהמתמטיקה כוללת שאלות שלא ניתן למצוא להן מענה.
מסקנה מדהימה ביותר.
מתמטיקה נחשבת כחוד החנית של החשיבה האנושית.
אבל כעת אנו יודעים שאפילו למתמטיקה יש מגבלות.
ועדיין, המתמטיקה כוללת חומר למחשבה מרתק עבורנו.