Tip:
Highlight text to annotate it
X
בין שאתם אוהבים זאת ובין שלא, אנחנו משתמשים במספרים בכל יום.
כמה מספרים, כמו מהירות הקול, הם קטנים וקל לעבוד איתם.
מספרים אחרים, כמו מהירות האור, הרבה יותר גדולים ומסורבלים לעבודה.
נוכל להשתמש בכתיב מדעי כדי לבטא מספרים גדולים בדרך הרבה יותר נוחה.
וכך נוכל לכתוב 299,782,458 מטרים לשנייה כ- 3.0 כפול 10 בחזקת 8 מטרים לשניה.
בכתיב מדעי נכון - ערך הביטוי הראשון גדול מ-1 אך קטן מ-10,
והביטוי השני מייצג את החזקה של 10, או את סדר הגודל שבו מכפילים את הגורם הראשון.
נוכל להשתמש בחזקה של 10 ככלי לביצוע הערכות מהירות כשאיננו זקוקים לערכו המדוייק של מספר.
לדוגמא, קוטרו של אטום הוא בקירוב 10 בחזקת 12- מטרים.
גובהו של עץ הוא בקירוב 10 בחזקת 1 מטרים.
וקוטרו של כדור הארץ הוא בקירוב 10 בחזקת 7 מטרים.
היכולת להשתמש בחזקות של 10 ככלי להערכה יכולה להיות שימושית בהזדמנויות שונות,
כמו למשל כשאתם מנסים לנחש כמה סוכריות M&M יש בצנצנת.
זוהי גם מיומנות חשובה במתמטיקה ובמדעים, במיוחד כשעוסקים בבעיות המוכרות כבעיות פרמי.
בעיות פרמי קרויות על שמו של הפיזיקאי אנריקו פרמי, המפורסם בביצוע הערכות מהירות של סדר גודל,
או הערכות מהירות המסתמכות על מידע מוגבל לכאורה.
פרמי עבד בפרויקט מנהטן בפיתוח הפצצה האטומית,
וכאשר בוצע ניסוי באתר טריניטי בשנת 1945, פרמי השליך מספר פיסות נייר בזמן הפיצוץ
והשתמש במרחק שבו הן עפו אחורנית בשעה שנפלו כדי להעריך את עוצמת הפיצוץ
כ-10 קילוטון של טי.אן.טי., שהוא באותו סדר גודל של הערך האמיתי 20 קילוטון.
דוגמא לבעיות הערכת פרמי קלאסיות היא: כמה מכווני פסנתרים ישנם בשיקגו, אילינוי?
בתחילה נדמה שיש יותר מדי דברים לא ידועים ושהבעיה בלתי פתירה.
זוהי דוגמא מושלמת ליישום הערכה באמצעות חזקות של 10, מכיוון שאיננו זקוקים לתשובה מדוייקת.
הערכה מספקת אותנו.
אנחנו יכולים להתחיל בקביעה כמה אנשים גרים בשיקגו.
אנחנו יודעים שזוהי עיר גדולה. אולי איננו בטוחים כמה אנשים בדיוק גרים בעיר.
מיליון אנשים? חמישה מיליון?
בנקודה הזו, אנשים רבים נעשים מתוסכלים ע"י חוסר הוודאות.
אבל אנחנו יכולים בקלות להתגבר על כך באמצעות חזקות של 10.
אנחנו יכולים להעריך את סדר הגודל של אוכלוסית שיקגו כ-10 בחזקת 6.
הביטוי לא מציין כמה אנשים גרים שם בדיוק,
אך הוא הערכה מדויקת של גודל האוכלוסיה שהינו קצת פחות מ-3 מליון אנשים.
וכך, אם ישנם כ-10 בחזקת 6 אנשים בשיקגו, כמה פסנתרים יש שם?
אם נרצה להמשיך להשתמש בסדרי גודל נוכל לומר
של-1 מתוך 10 או ל-1 מתוך 100 אנשים יש פסנתר.
מכיוון שההערכה של האוכלוסיה כוללת ילדים ומבוגרים, נשתמש בהערכה השניה
שמעריכה שיש כ-10 בחזקת 4 או 10,000 פסנתרים בשיקגו.
אם זוהי כמות הפסנתרים, כמה מכווני פסנתרים יש בשיקגו?
היינו יכולים להתחיל את תהליך החשיבה בשאלה באיזו תדירות מכוונים פסנתרים,
כמה פסנתרים מכוונים בכל יום, או כמה ימי עבודה יש למכוון פסנתרים,
אך לא זוהי הנקודה בהערכה מהירה.
במקום זאת, נחשוב בסדרי גודל ונאמר שמכוון פסנתרים מכוון כ-10 בחזקת 2 פסנתרים בשנה.
שהם בערך כמה מאות פסנתרים.
בהנתן ההערכה הקודמת שלנו של 10 בחזקת 4 פסנתרים בשיקגו,
וההערכה שכל מכוון פסנתרים יכול לכוון 10 בחזקת 2 פסנתרים בשנה,
נוכל לומר שיש בערך 10 בחזקת 2 מכווני פסנתרים בשיקגו.
אני יודע מה אתם חושבים כעת:
איך כל ההערכות האלה יכולות להביא לתשובה הגיונית?
ובכן, זה פשוט למדי: בכל בעית פרמי מניחים שהערכות יתר מתקזזות עם הערכות חסר
ויוצרות הערכה שהיא בדרך כלל בטווח של סדר גודל אחד מהתשובה האמיתית.
במקרה שלנו, נוכל לאשר זאת אם נבדוק בספר הטלפונים כמה מכווני פסנתרים רשומים בשיקגו.
ומה נמצא שם? 81.
די מדהים, הנתחשב בהערכה בהערכה של סדר הגודל שלנו.
אבל, הי, זהו חוזקו של העשר.