Tip:
Highlight text to annotate it
X
כאשר נפרדנו בסרטון האחרון, ניסינו למצוא מה הגודל של המהירות ההתחלתית
על מנת שהכדור יעבור את המפלצת הירוקה (הגדר) של אצטדיון פנוואי, בהנחה שהחובט מכה בזויית של 45 מעלות,
והוא חובט בגובה מטר מעל משטח תחנת הבסיס, והמפלצת הירוקה נמצאת 96 מטרים משם וגובהה 11.3 מטרים.
רכיב ה-x של ההתקה כאשר זה 96 מטרים, ורכיב ה-y של ההתקה
זה 10.3 מטרים. לא 11.3, כי התנועה
מתחילה בגובה של מטר אחד, ואז צריך לעלות עוד רק 10.3 מטרים גבוה יותר.
הכנו את הבעיה לפתרון והכנו את הנוסחה שהסקנו בסרטונים קודמים
על ההתקה כפונקציה של זמן, המהירות ההתחלתית
והתאוצה שלנו, וכעת אנו מוכנים לצאת לדרך כאשר יש לנו את כל החומרים הדרושים.
ניישם את זה. מה שנחמד זה שבסופו של דבר, נצליח
לפתור את המרכיבים האופקיים והאנכיים באותו זמן, כאשר כל הוקטורים שלנו
בסימון הנדסי, תשלובת של כפולות של וקטורי i ו-j.
ההתקה שלנו כפונקציה של זמן...
נרשום את זה בירוק, זה יהיה שווה ל-v אינדקס i כפול t.
ובכן, v אינדקס i זה כל העסק הזה.
אם מכפילים וקטור כפול סקאלר, ו-t זה סקאלר, זה פשוט מספר,
פשוט מכפילים כל אחד, פשוט מכפילים כל רכיב בכמות כזו.
זה יהיה שווה לשורש של 2, רגע... תנו לי תנו לי...
כן... החלק הזה, החלק פה,
זה שווה לשורש של 2 חלקי 2 כפול הגודל של המהירות ההתחלתית כפול זמן
כפול i, פשוט הכפלתי את זה בזמן. את שני האיברים האלה נכפיל בזמן.
שני הוקטורים האלה.
ועוד שורש של 2 חלקי 2, כפול v אינדקס i, כפול זמן, משום שאנו מכפילים
את זה בזמן כאן, כפול j.
זה ה-v אינדקס i כפול t. אולי נרשום את ה-t בצהוב רק כדי שתראו
שזה t, רק הרגע הפצנו את ה-t הזה של שני האיברים, לכן המהירות ההתחלתית,
הדבר הזה מופיע בכל האיברים האלה. נסמן אותו בקו בכל המקרים.
זה מופץ לכל הדברים האלה, וכאן אנו מודדים את גודל וקטור התאוצה,
אנו כופלים את זה ב-t בריבוע חלקי 2. אנו מכפילים כל איבר כאן
ב-t בריבוע חלקי 2. אין כאן איבר i, לכן נוכל להתעלם מזה, כל מה שיש לנו
זה איבר j. ואנו נכפיל את זה ב-t בריבוע חלקי 2. כל זה, זה וקטור
כפול t בריבוע חלקי 2. אם נכפיל את זה ב-t בריבוע חלקי 2, נקבל את זה חלקי 2,
זה 9.8 חלקי 2 שזה 4.9 ואז ה-t בריבוע כפול j.
החלק הזה כאן, נותן לנו את זה. פשוט הכפלנו
את t בריבוע חלקי 2 כפול 9.8- כדי לקבל את הגודל כאן, וזה יהיה
בכיוון האנכי, למרות שהסימן השלילי הזה מציין לנו שאנו יורדים בכיוון האנכי.
כעת זכרו, אנחנו צריכים למצוא
מה צריכה להיות המהירות. אנו צריכים כאן כמה אילוצים כי
כאן יש לנו 2 נעלמים. יש לנו את t ויש לנו את v, אך למזלנו נוכל לערוך 2 משוואות.
משום שאמרנו שההתקה הנדרשת שלנו היא כאשר אנחנו ממש בקצה הקיר,
זה נקרא ההתקה הנדרשת.
ההתקה הנדרשת צריכה להיות 96 בכיוון האופקי,
זה 96 מטרים בכיוון האופקי, כן? 96 מטרים...
ו-10.3 מטרים בכיוון האנכי. לכן זה ועוד 10.3 מטרים בכיוון האנכי
איך נערוך 2 משוואות כאן? מה הוא הרכיב האופקי
של כל העניינים כאן? הרכיב באופקי של כל זה,
זה כפול וקטור i. נוכל לרשום, ונעשה את זה בכתום כמובן,
זה יהיה שווה לזה, ומה הרכיב האנכי?
הרכיב האנכי שזה כל מה שמוכפל בוקטור j.
ולמעשה, נוכל לקבץ אותם, נוכל לחלץ את וקטור ה-j. זו דרך אחת לחשוב על זה.
כל זה צריך להיות שווה לזה! זה צריך להיות זה. זה מייצר לנו
למעשה 2 משוואות עם 2 נעלמים, ומאפשר לנו לפתור את ה-v הנדרש כדי לעבור את המפלצת הירוקה.
ננסה את זה עכשיו. זו המשוואה הראשונה, אנו מקבלים שורש של 2 חלקי 2,
כפול המהירות ההתחלתית כפול הזמן, זה צריך להיות שווה ל-96, נכון?
הגודל כאן, צריך להיות שווה ובעל אותו גודל כמו זה. כאשר נדבר על רכיבי ה-j,
נוכל לחלץ החוצה את כל רכיcי ה-j, נוכל לחלץ רכיב j כאן, אז כל זה
מוכפל ב-j, כל זה מוכפל ב-j, למעשה פשוט פירקנו את זה,
לכן זה הגודל של הכיוון האנכי וזה צריך להיות שווה ל-10.3.
המשוואה השנייה שלנו עם 2 נעלמים היא שורש של 2 חלקי 2, כפול הגודל
של המהירות ההתחלתית, כפול זמן, פחות 4.9 כפול t בריבוע, זה צריך להיות שווה ל-10.3.
המטרה שלנו זה לפתור עבור v אינדקס i. כדי מצוא את הגודל של המהירות ההתחלתית.
מה שנוכל לעשות, זה לפתור עבור t, האיברים של v אינדקס i,
נכנסים בחזרה הנה. נפתור את זה עבור v, זה המהירות ההתחלתית הנדרשת
או הגודל של זה. על מנת לפתור עבור t, זה די פשוט, פשוט נחלק את שני האגפים
בשורש של 2 חלקי 2 כפול v אינדקס i, שורש של 2 כפול v אינדקס i, אלה מצטמצמים,
ונקבל t שווה ל-96 חלקי כל זה, שזה אותו דבר
כמו t שווה ל... לחלק בשורש של 2 חלקי 2, זה כמו להכפיל ב-2 חלקי שורש של 2,
שזה פשוט השורש של 2. נעשה את זה.
זה כאן, נרשום את זה פה, אז 96 חלקי השורש של 2 חלקי 2, שווה
ל-96 כפול 2 חלקי השורש של 2. ו-2 חלקי השורש של 2 זה פשוט
השורש של 2. זה מפושט ל-96 כפול שורש של 2. זה 96 כפול השורש של 2 חלקי המהירות ההתחלתית.
נוכל לקחת את זה עכשיו, ולהציב את זה בחזרה למשוואה השנייה שלנו,
כאשר כל פעם שאנו רואים את t, תהיה לנו משוואה אחת עם נעלם.
אנו נקבל... שורש של 2 ... נעשה את זה בכחול.
נקבל שורש של 2 חלקי 2 כפול הגודל של המהירות ההתחלתית כפול זמן.
מצאנו שהזמן זה כל הגוש הזה, לכן זה
כפול 96 כפול השורש של 2 חלקי v אינדקס i פחות 4.9 כפול t בריבוע. פחות 4.9 כפול t בריבוע.
כמה זה t בריבוע? t בריבוע זה אותו דבר כמו זה בריבוע, לכן זה 4.9-
כפול 96 בריבוע, כפול שורש של 2, זה אם כן פשוט 2, וכל זה חלקי v אינדקס i בריבוע.
עשיתי את זה נכון? כן, אם נעלה את זה בריבוע, נקבל 96 בריבוע, כפול השורש של 2 בריבוע,
שזה פשוט 2, חלקי v אינדקס i בריבוע, וזה צריך להיות שווה ל-10.3.
כעת, אנו צריכים לפתור את זה עבור v אינדקס i. זה נראה מפחיד אבל זה לא יהיה נורא כל כך.
אם פשוט נאמין ונתרכז בבעיה.
קודם כל צריך לפשט... יש לנו v אינדקס i במונה וגם אחד במכנה,
שני אלה מצטמצמים ואז יש לנו שורש של 2 כפול השורש של 2,
ושורש של 2 כפול שורש של 2 זה פשוט 2, ויש לנו 2 במונה ו-2 במכנה,
זה מצטמצם. האיבר הראשון הזה מפושט ל-96, שזה נחמד.
אז זה 96, ואז יש לנו פחות כל החלק הזה חלקי v אינדקס i בריבוע, לכן נמצא מה כל זה.
נפתח ונכפיל את הכל בעזרת המחשבון. יש לנו 4.9 כפול 96 בריבוע,
כפול 2, שזה 90316, שזה כנראה נכן, כי זה יהיה בערך 10000. כן, זה 90316. פחות 90316 חלקי v אינדקס i בריבוע
שווה ל-10.3. אנו יודעים שרצוי לפשט. נכפיל הכל
ב-v אינדקס i בריבוע, ונקבל 96 כפול הגודל של המהירות ההתחלתית בריבוע
פחות 90316... טוב, זה כל העקרון בהכפלת כל זה בזה,
זה אינו במכנה יותר, זה שווה ל-10.3 כפול v אינדקס i בריבוע. וכעת נוכל..אה...
נעשה כמה דברים מעניינים, הבה נחבר, בעצם הבה נחסיר 10.3 כפול v אינדקס i בריבוע
משני האגפים, פחות 1-.3 כפול v אינדקס i בריבוע, ונחבר 90316 לשני האגפים.
ועוד 90316 בשני האגפים ומה נקבל? באגף השמאלי, שני אלה מצטמצמים,
אם ניקח 96 פחות 10.3, 96 פחות 10 זה 86, ונחסיר עוד 3, זה יוצא 85.7 כפול v אינדקס i בריבוע
שווה ל, באגף הזה, שני אלה מצטמצמים, זה שווה, זה שווה ל-90316. כעת נוכל לחלק את שני
האגפים ב-85.7 ונקבל v אינדקס i בריבוע, וזה ממש הסוף, זה שווה לזה.
נשלוף את המחשבון שוב. זה שווה לכמות הזו חלקי 85.7 שזה שווה ל-1053.
הגיד 1053, או 1054 אם נעגל. אז 1054, זה במטרים בריבוע לשניות בריבוע.
לא רשמו את זה עם יחידות, אך רק כדי לפתור עבור v אינדקס i, פשוט נוציא שורש משני האגפים.
אם כך, v אינדקס i יהיה השורש של זה, נוציא שורש מזה.
השורש של זה, יתן לנו 32.5. וסיימנו!
זה יהיה במטרים לשניה, אלה היחידות שאנו מתעסקים בהם, עסקנו
במטרים ושניות וכל השאר. אם כך זו המהירות של הכדור, הגודל
של המהירות ההתחלתית! כאשר נתקעים עם המתמטיקה, לפעמים שוכחים מה אנו בכלל עושים!
אך אם חובטים משהו ב-32 מטר לשנייה בזווית של 45 מעלות, בגובה מטר ממשטח הבסיס,
מטר אחד מעל הקרקע, באצטדיון פנוואי, זה פשוט יעבור או יפגע
בקצה העליון של הגדר "המפלצת הירוקה". אם המהירות תהיה גדולה יותר,
אם זה יהיה 33 מטר לשניה, אנו מניחים שהתנגדות האוויר היא זניחה וזה לא מאט אותנו,
נוכל להעיף את הכדור מעל המפלצת הירוקה! זה בזווית אופטימלית של 45 מעלות.
אם הזווית אינה אופטימלית, נצטרך להקנות יותר מהירות התחלתית לכדור.
או יותר גודל בוקטור. ואם בא לכם בשביל הכיף, אפשר
להמיר את זה לקילומטר לשעה ולהשוות למכונית
או מהירות יותר מוחשית לכם.