Tip:
Highlight text to annotate it
X
היום, אני אדבר על
שאלה ששואלים אותנו המון בצוות שלנו.
והשאלה היא... בריידי, מה השאלה?
-השאלה היא, למה 0 עצרת שווה 1?
נכון,
למה 0 עצרת שווה 1?
בוא נתחיל עם תזכורת לגבי
מה זה "עצרת".
עבור מספר שלם n,
n עצרת, שכותבים את זה ככה. n עם
סימן קריאה.
זה שווה ל-
מכפילים את כל המספרים השלמים הקטנים
או שווים לn.
זה n כפול n פחות 1, כפול n פחות 2
כפול...
ואתה ממשיך הלאה עד שאתה מגיע ל3
כפול 2 כפול 1.
לדוגמה.
בואו נמצא את 5 עצרת.
5 כפול 4 כפול 3 כפול 2 כפול 1.
ואתה מחשב,
יוצא 120.
בסדר.
אז השאלה שנשאלנו היא כמה זה 0 עצרת.
הדרך שבה נפתור את הבעיה, אחת הדרכים שאפשר
לענות על זה היא להשלים את החוקיות.
בואו נמשיך את החוקיות.
החוקיות היא, 4 עצרת שוות 5
עצרת לחלק ל5.
ואתה רואה, אם יש לי 5 עצרת פה ואני מחלק
ב5, אני יכול לצמצם אותו, ואתה
נשאר עם 4 עצרת.
את 5 עצרת לחלק ל5, או 120 לחלק ל5
זה 24.
זה 4 עצרת.
3 עצרת יוצא 4 עצרת חלקי 4.
זה 24 לחלק ל4,
זה 6.
זה 3 עצרת.
2 עצרת, 3 עצרת לחלק ל3, 6 שהרגע
מצאנו, לחלק ל3, שווה 2.
1 עצרת,
נעשה את זה שוב.
זה 2 עצרת לחלק ל2
2 עצרת זה 2, ולחלק ב2
יש לנו 2 לחלק ל2
וזה שווה 1.
וכאן זה נהיה מעניין
אתה מרגיש את הציפייה?
אז 0 עצרת.
אנחנו נמשיך את הרצף.
0 עצרת זה 1 עצרת לחלק ל1.
1 עצרת זה 1.
אז זה 1 לחלק ל 1 וזה שווה ל1.
אז 0 עצרת שווה 1.
זה משלים את הרצף.
-מי אמר שחייבת להיות חוקיות?
מאיפה הגיע החוק הזה?
-אני מניח שזה לא חייב להיות
חוקיות שממשיכה.
אבל זו כן חוקיות שממשיכה.
אני אנסה להסביר בדרך אחרת.
-רגע, תן לי להמשיך את הרצף.
זה אומר שמינוס 1 עצרת יהיה הבא
ברצף?
-בוא נראה מה קורה.
אני לא בטוח מה הולך לקרות.
בוא ננסה.
מינוס 1 עצרת.
אז מה אני אקבל?
0 עצרת לחלק ל0
1 לחלק ל0.
-אהה, לחלק ל0.
-שברת את המתמטיקה, בריידי!
תפסיק עם זה!
עוד דרך להסביר כמה זה 0 עצרת.
n עצרת זה גם מספר הדרכים שאפשר
לסדר n עצמים.
בוא אני אנסה להדגים לך למה אני מתכוון.
בוא ניקח חפצים.
אני אוציא ארנק.
אני אוציא מטבעות.
רואה?
מי אמר שמתמטיקאים לא מרוויחים כסף?
יש פה לפחות 50 פאונד.
ניקח אחד כסוף ואחד של 5.
3 עצמים. כמה דרכים יש לסדר את
שלושת העצמים.
יש 6 דרכים לעשות את זה.
זה 3 עצרת.
בוא נבדוק אותם.
זה אחד, זה 2, או שאפשר לשים אותו פה.
זה 3, זה 4,.
או שאפשר--
אני חושב שזה היה היחיד שלא היה מקדימה.
אז זה יהיה 5 ו6.
אם נוציא אחד, יהיו לנו 2 עצמים.
כמה דרכים יש לסדר אותם?
זה אחד, זה 2.
נוציא אחד.
כמה דרכים יש לסדר עצם אחד?
הנה,
זו הדרך היחידה.
דרך אחד לסדר חפץ אחד.
עכשיו נוציא את המטבע האחרון.
ופה זה נהיה פילוסופיה.
יש לנו 0 חפצים.
כמה דרכים יש לסדר 0 חפצים?
יש דרך אחת בלבד.
הנה היא.
רוצה לראות שוב?
הנה זה.
קצת "פלספני", אבל אנחנו אומרים שיש רק דרך אחת
לסדר 0 עצמים.
אז שוב, החוקיות ממשיכה.
0 עצרת שווה 1.
רק כדי ללכת רחוק יותר, אם
אנחנו מדברים על עצרת, בוא ננסה לשים אותם על גרף.
נגיד שיש לנו 1, 2,3,4,5,
אחד עצרת זה אחד, אז תקרא לזה 1,
2 עצרת זה כאן, אז זה איפהשהו פה.
3 עצרת זה 6.
לא יודע,
בערך פה.
4 עצרת זה 24, אז זה יהיה
יחסית גבוה, כאן.
ואז 5 עצרת מגיע מאוד גבוה.
אז אם נחבר את הנקודות, 0 עצרת
זה 1, אז נראה לי שזה יהיה הגרף.
אז תיאורטית, אנחנו אמורים לקבל גם ערכים לכל הנקודות
באמצע, נניח 1.5.
1.5 עצרת.
מה זה 1.5 עצרת?
אז מתמטקאים עשו את זה.
הם הכלילו את הרעיון.
וזה הרעיון של 1.5 עצרת
קוראים לזה גמא.
זה האות היוונית גמא.
אנחנו אמורים "גמא של.."
והדרך בה רושמים את זה,
ועכשיו זה נהיה מורכב,
אנחנו אומרים, גמא של n שווה לאינטגרל בין 0
לאינסוף של--
בוא נבחר משהו.
t בחזקת n פחות 1, כפול e בחזקת
מינוס t כפול dt.
הרבה לא יכירו את זה.
חלק מכם אולי כן מכירים את זה.
חלק לא.
זה רעיון מתמטי מורכב יותר,
אבל זה יסדר את העצרת.
אבל זה מקבל כל מספר ממשי.
זה יוצר את הקו הזה.
ויש משהו אני צריך להבהיר.
זה קצת לא צפוי, אבל אם ניקח ערך למספר שלם.
גמא של n, הנוסחה מחזירה את הערך של
העצרת של המספר הקודם, אז צריך להיזהר.
זה עלול להפיל אותך.
קצת כאב ראש.
אז מה הרעיון בנוסחה שנותנת לך ערכים מספריים
של עצרת בין מספרים שלמים כשאי אפשר למצוא סידורים
ל1.5 עצמים?
אז זו הכללה, ומסתבר שהוא שימושית
להמון דברים.
בייחוד אני מדבר על הסתברות.
משתמשים בזה בנוסחאות בהסתברות
כשאתה מדבר על זמן רציף
במקום סידור חפצים בהסתברות דיסקרטית.
אתה מדבר על אירועים רציפים.
זו דוגמה טובה-
אז אתה מתחיל להכליל רעיונות,, אז את צריך
עצרת מוכללת.