Tip:
Highlight text to annotate it
X
שמי לודוויג שְלֶפְלִי,
ואני גאומטר שוויצרי.
חייתי במאה התשע עשרה,
ואני אפתח עבורכם את הדלת לממד הרביעי!
אם יורשה לי להעיד על עצמי, הייתי איש חזון.
הייתי בין הראשונים להבין
כי מרחבים מרובי ממדים
קיימים וכי ניתן
לחקור את צורתם הגאומטרית.
אם יצורים שטוחים, החיים במישור,
יכולים להבין פאונים תלת־ממדיים,
מדוע שאנו לא נוכל להבין פאונים בארבעה ממדים?
אחד מהישגי העיקריים היה
תיאור של כל הפאונים המשוכללים בארבעה ממדים.
מהו הממד הרביעי?
רבות נכתב אודותיו
וסופרי מדע בדיוני שואבים ממנו הנאה מרובה!
אנסה להסביר לכם על גבי הלוח.
כפי שתראו מיד, זהו לוח קסם.
העיקר הוא להתכונן לעזוב את העולם
המוכר לנו
ולדמיין עולם חדש
אליו אין לעינינו וחושינו גישה ישירה.
ניאלץ להתחכם, ממש כמו הלטאות.
אני אעפיל לנקודת תצפית,
לצערי לא תוכלו לראותה,
ואנסה לתאר מה שאראה ממנה.
אולם לפני כן, אצייר ישר על גבי הלוח.
אסמן כאן את הראשית.
כעת ניתן לציין כל נקודה על הישר
בעזרת מרחקה מהראשית,
עם סימן מינוס אם היא משמאלה,
או פלוס, אם היא מימינה.
x מספר זה מסומן בדרך כלל באות
ומכונה פסוק.
כיוון שניתן לציין מיקום כל נקודה
בעזרת מספר אחד,
אנו אומרים כי לישר ממד אחד.
כעת אצייר ציר שני,
המאונך לראשון.
כל נקודה על גבי הלוח
ניתן לתאר במדויק בעזרת שני מספרים,
.: הפוסק והפסוקy ו- x המסומנים לרוב באותיות
למישור שני ממדים.
אם תרצו להסביר ליצור החי על ישר
מהי נקודה במישור, אותו אין הוא מכיר,
תוכלו לומר לו
"נקודה במישור היא זוג מספרים".
נעבור לשלושה ממדים.
הגיר מצייר כעת באוויר
ומשרטט ציר שלישי, מאונך לשניים הקודמים.
נקודה במרחב ניתנת לתיאור בעזרת שלושה מספרים,
.z ו- y, x
נוכל לומר ללטאות
הסקרניות להבין את עולמנו,
"נקודה במרחב היא פשוט שלושה מספרים".
נעבור לממד הרביעי.
נוכל לנסות לשרטט ציר רביעי,
המאונך לשלושת קודמיו, אולם זה בלתי אפשרי!
לכן יהיה עלינו להמשיך בדרך אחרת.
כמובן שנוכל לומר בפשטות
כי נקודה במרחב ארבע־ממדי
.t ,z ,y ,xאינה אלא 4 מספרים,
זה לא יעזור לנו הרבה!
אף על פי כן ננסה לפתח
אינטואיציה לגאומטריה הזו.
שיטה אחת לנסות להבין אותה
היא בעזרת הקבלה.
הנה קטע...
...ומשולש שווה צלעות...
ולבסוף ארבעון משוכלל.
לוח הקסם מאפשר לנו לשרטט במרחב.
כיצד נמשיך את הסדרה לממד הרביעי?
נבחין כי הקטע, המשולש והארבעון
בעלי 2, 3 ו-4 קודקודים, בהתאמה.
לכן נוכל לנסות להמשיך עם 5 קודקודים!
הבה ננסה.
בקטע, במשולש ובארבעון,
כל זוג קודקודים מחובר על ידי צלע או מקצוע.
לכן נחבר כל זוג מבין חמשת הקודקודים במקצוע.
נספור:
מקצוע אחד,
שניים, שלושה, ארבעה, 5, 6, 7, 8, 9, ו-10 מקצועות.
בארבעון, לכל שלושה קודקודים
מתאימה פיאה משולשת.
נמשיך באופן זה
ונקבל פיאה משולשת אחת,
שתיים, שלוש, ..., עשר פיאות.
אולם אם נמשיך, על דרך ההקבלה,
עלינו להוסיף פיאה בצורת ארבעון
לכל רביעיית קודקודים.
ניתן לספור חמש כאלו.
הנה, סיימנו לבנות את הגוף הארבע־ממדי שלנו!
נכנה אותו "סימפלקס"!
נסובב אותו במרחב
כפי שסובבנו את הארבעון.
עליכם לדמיין, כמובן, את הסימפלקס מסתובב
במרחב ארבע־ממדי
ואנו רואים רק את היטלו על הלוח.
אין זה פשוט לגמרי,
כיוון שפיאות הסימפלקס מצטלבות ונחתכות.
ובכן, נדרש ניסיון כדי לראות ארבעה ממדים.
כעת ניקח את הסימפלקס,
השוכן בארבעה ממדים,
ונעבירו דרך המרחב התלת ממדי "שלנו"
כך שנוכל לראות חתכים שונים שלו.
כפי שהלטאות
ראו מצולעים שהופיעו ואז נעלמו,
אנו יכולים לראות פאונים תלת־ממדיים
שמופיעים, משנים צורה, ונעלמים.
הנה, הסימפלקס חלף דרך עולמנו.
נכיר כעת
פאונים ארבע־ממדיים אחרים
שיחצו את המרחב התלת־ממדי שלנו.
זוהי קובית העל, הממשיכה את משפחת המצולעים
המתחילה בקטע, בריבוע ובקוביה.
יש להודות כי לפתח אינטואיציה בשיטת החתכים
זו משימה לא פשוטה...
אני גיליתי את הפאונים המקבילים לעשרימון ולתריסריון.
שמותיהם מסובכים,
אך אני מכנה אותם המאה עשרימון והשש מאון,
כיוון שלראשון 120 פיאות ולשני 600.
התבוננו במאה עשרימון בשעה שהוא חוצה את המרחב.
והנה השש מאון.
כמובן, באומרי שלפאון ארבע־ממדי 600 פיאות,
כוונתי כמובן לפיאות תלת־ממדיות.
אכן, אותן 600 הפיאות הן ארבעונים.
ובאשר למאה עשרימון, הוא מורכב מ-120 תריסריונים.
נלמד להכיר אותם טוב יותר מאוחר יותר.
כדי לראות גופים ארבע־ממדיים
בעיניים תלת־ממדיות,
נוכל להתבונן בצלליהם.
נטיל את העצמים מהמממד הרביעי
על עולמנו התלת ממדי,
ממש כפי שצייר מטיל נוף על גבי הבד.
למעשה עשינו זאת כבר, עם הסימפלקס.
הנה קובית העל.
כמובן, היא מסתובבת במרחב
כדי שנוכל לעמוד על פרטיה.
ניתן לראות, למשל, שלקובית העל 16 קודקודים.
וכעת משהו חדש.
תגליתי היפה ביותר.
גוף שאני מכנה העשרים וארבעון.
אין מקביל לו בשלושה ממדים.
זהו יצור ארבע־ממדי טהור.
אני גאה מאוד בתגליתי זו.
ראו איזה יופי! 24 קודקודים, 96 מקצועות, 96 משולשים ו-24 תמניונים.
פנינה של ממש!
זהו צילו של המאה עשרימון,
במלוא הדרו.
הדר מורכב, יש לומר!
ניכנס פנימה ונבחן את המבנה מקרוב.
הביטו: 600 קודקודים, 1200 מקצועות.
ארבעה מקצועות יוצאים מכל קודקוד.
מבנה רגולרי לחלוטין.
כל הקודקודים וכל המקצועות ממלאים תפקיד זהה.
ועדיין, ההטלה פוגעת בסימטריה.
אמצו את דמיונכם:
דמיינו את הגוף במרחב הארבע־ממדי,
שם חבורה עצומה של סיבובים
מחליפה בין קודקודיו ובין מקצועותיו.
והנה האלוף, השש מאון.
כמו מיקרומולקולה ענקית
בעלת 720 מקצועות ו-120 קודקודים.
12 מקצועות יוצאים מכל קודקוד.
אולם ההרפתקה שלנו עם הפאונים
הארבע־ממדיים לא עוצרת כאן,
כיוון שניתן לשער שההטלה הסטראוגרפית
תעזור לנו להבינם טוב יותר.