Tip:
Highlight text to annotate it
X
הבה נחזור אל הספרה הדו־ממדית ואל קווי הרוחב שעליה.
S2מעל לכל נקודה שעל הספרה
נדמיין מעגל הופף.
ראו מה נמצא מעל לקו רוחב של הספרה,
למשל קו המשווה.
הנה מה שנמצא מעל לקו רוחב אחר,
הנע דרומה.
מדוע נראה כי הטורוס נעשה דקיק?
כיוון שמעל לקוטב הדרומי
ישנו כמובן מעגל אחד בלבד.
ומעל לקוטב הצפוני, קו ישר,
למעשה, מעגל העובר באינסוף, זהו הישר האדום!
הבה נסובב את כל זה.
כמובן, אלו סיבובים, אולם
במרחב הארבע־ממדי.
אם להיות כנה, עלי לומר כי חלק מתמונות אלו
היה מוכר הרבה לפני זמני.
קיומן של ארבע משפחות של מעגלים על גבי הטורוס
מיוחס למרקיז דה וִילַרֽסוֹ,
אולם רמזים מוקדמים יותר לכך ניתן למצוא למשל
בפסל בקתדרלה של שטרסבורג.
נתבונן בטורוס סיבוב:
זהו המשטח הנוצר על ידי מעגל
הסובב סביב ציר הנמצא באותו מישור.
הביטו בחתכי הטורוס הנוצרים על ידי מישור.
שימו לב לבחירת המישור.
אומרים כי זהו מישור משיק כפול לטורוס,
כיוון שהוא משיק לו בשתי נקודות בדיוק.
אולם התבוננו היטב:
המישור חותך את הטורוס בשני מעגלים מושלמים.
זהו משפט וילרסו:
מישור המשיק לטורוס בשתי נקודות חותך אותו בשני מעגלים.
כמובן, יש יותר ממישור אחד כזה.
הנה מישור אחר, החותך את הטורוס בשני מעגלי וילרסו שונים.
ונוכל לחזור על כך לכל המישורים הללו:
כל שיש לעשות הוא לסובב את הטורוס.
דרך כל נקודה על גבי טורוס סיבוב
ניתן להעביר ארבעה מעגלים,
המתקבלים מחיתוכו על ידי מישורים מתאימים.
אחד ממעגלים אלו הוא קו רוחב,
השני קו אורך,
ובנוסף מעגל וילרסו ראשון
ושני.
כיוון שניתן לעשות זאת לכל נקודה על הטורוס
הטורוס מכוסה על ידי ארבע משפחות של מעגלים.
אף שני מעגלים מאותה משפחה לא נחתכים.
מעגל כחול ומעגל אדום נחתכים בנקודה יחידה.
מעגל צהוב ומעגל לבן נחתכים בשתי נקודות:
אלו הם מעגלי וילרסו.
התבוננו היטב במעגלים הצהובים:
אלו מעגלי הופף!
אתם זוכרים מה ראינו
כאשר התבוננו מעל לקו המשווה בהסיבה?
ראינו טורוס המכוסה במעגלים שזורים יחדיו,
ממש כמו טורוס זה, המכוסה במעגלים הצהובים.
והמעגלים הלבנים?
ובכן, אלו סיבים של הסיבת הופף אחרת!
בבואת הראי של הראשונה...
לסיום טיולנו,
ניקח טורוס סיבוב,
על ארבע משפחות המעגלים שעליו,
נדמיין אותו על הספרה התלת־ממדית
נסובב את הספרה במרחב הארבע־ממדי
ולבסוף נבצע הטלה סטראוגרפית
על המרחב התלת־ממדי.
באופן זה מתקבלים משטחים
המכוסים גם הם על ידי ארבע משפחות של מעגלים:
אלו הם הציקלידות של דוּפַּן.
לעתים, כאשר הטורוס עובר דרך הקוטב ממנו מטילים,
המשטח הופך אינסופי...
במהלך תנועה זו, שני הפנים יכולים אף להתחלף,
פנים הטורוס צבוע ורוד, וצידו החיצוני בירוק.
סיבוב פשוט בארבעה ממדים ו...הופ!
הירוק הופך לוורוד והוורוד לירוק.
אין זה מרהיב?