Tip:
Highlight text to annotate it
X
אני אדריאן דוּאָדִי.
עבודתי המתמטית מרוכזת כולה
סביב המספרים המרוכבים.
תרמתי לקידום הגאומטריה האלגברית
ולתורת המערכות הדינמיות.
למספרים המרוכבים היסטוריה ארוכה.
מצד שמאל אתם רואים את טַרְטַגְלִַיה וקַרְדָנוֹ,
החלוצים שחיו בתקופת הרנסנס.
מימין אלו קוֺשִי וגָאוּס,
שביססו את התורה, במאה התשע עשרה.
מספרים מרוכבים אינם כה מסובכים,
כפי ששמם מרמז!
הם נקראו בתחילה "המספרים הבלתי אפשריים"
וכיום מכנים אותם עדיין "דמיוניים".
אמנם, הם דורשים מעט דמיון.
אולם כיום המספרים המרוכבים חדרו לכל תחומי המדע
ואינם כה מסתוריים יותר.
בזכותם אנו יכולים
לבנות מבנים פרקטליים יפהפיים,
נושא עליו עבדתי הרבה.
ביימתי אפילו סרט: "הדינמיקה של הארנב",
מסרטי האנימציה המתמטיים הראשונים.
ראשית אסביר לכם את המספרים המרוכבים על גבי הלוח.
מתמטיקאים אוהבים מאוד לכתוב בגיר...
כפי שתראו מיד, הסרגל, מד הזווית והקוודרנט
מתנהגים באופן די משונה לפעמים...
הבה נצייר קו על הלוח, עם סימני מרחקים.
אחד הרעיונות היפים ביותר במתמטיקה
הוא הקישור בין הגאומטריה והאלגברה.
זו נקודת המוצא של הגאומטריה האלגברית.
ממש כפי שניתן לחבר מספרים, ניתן לחבר נקודות.
הנה נקודה אדומה על הישר, ונקודה נוספת, כחולה.
נחבר את שתי הנקודות.
זו הנקודה הירוקה! אחת ועוד שתיים שווה שלוש!
אם נזיז את הנקודות האדומה והכחולה על גבי הלוח,
תנוע גם הנקודה הירוקה, שהיא סכומן.
נוכל גם לכפול נקודות, מה שמעניין יותר.
נתבונן למשל בכפל ב-2-.
הוא מעביר את הנקודה 1 לנקודה 2- כמובן.
ואם נכפול שוב ב-2- ,
עלינו לחזור על תנועה זו:
להחליף צד ביחס לראשית
ולהכפיל את המרחק ממנה.
נקבל 4, כמובן.
אם נכפול ב-2- פעמיים,
הרי שכפלנו ב-4.
כפל ב-1- הוא פשוט ביותר.
כל נקודה עוברת לנקודה הסימטרית שלה
ביחס לראשית.
כלומר, יש לבצע חצי סיבוב,
או סיבוב ב-180 מעלות, אם תרצו.
אם נכפול מספר בעצמו,
נקבל תמיד מספר חיובי.
למשל, אם נכפול ב-1-,
נבצע חצי סיבוב;
לכן, אם נכפול שוב ב-1-,
ובכן, נחזור לנקודת המוצא!
לכן, 1- כפול 1- שווה 1,
פשוט מאוד.
ניתן לראות למשל שכפל ב-1-
שולח את 2 ל-2-.
אם נכפול שוב ב-1-,
נחזור ל-2.
ברור, לא כן?
לכן, אין מספר
שכאשר נכפול אותו בעצמו נקבל 1-.
בניסוח אחר, ל-1- אין שורש ריבועי.
אלא שלא לא התחשבנו
בדמיונם של המתמטיקאים!
רוברט אַרְגְַנד הגה בתחילת המאה התשע עשרה רעיון נפלא.
הוא אמר לעצמו: "היות וכפל ב-1-
הינו סיבוב ב-180 מעלות,
הרי שהשורש הריבועי של 1- אינו אלא סיבוב במחצית, כלומר 90 מעלות.
אם אבצע שני רבעי סיבובים,
הרי שביצעתי חצי סיבוב!
ריבועו של רבע סיבוב הינו חצי סיבוב, כלומר מינוס אחת."
כל שנדרש היה הוא לחשוב על כך!
ארגנד הכריז לכן כי השורש הריבועי של 1-
מתאים לנקודה המתקבלת על ידי סיבוב ב-90 מעלות של הנקודה 1.
אלא שנובע מכך שעלינו לעזוב את הישר האופקי,
שהרי החלטנו לייחס מספר
לנקודה במישור שאינה על הישר!
כיוון שבנייה זו משונה במקצת,
אנו אומרים שהשורש הריבועי של 1- הוא מספר דמיוני
.i והמתמטיקאים מסמנים אותו באות
אולם מרגע שהעזנו לעזוב את הישר
ההמשך הינו פשוט.
וכולי. 3i ,2i נוכל לייצג את
לכל נקודה במישור מתאים מספר מרוכב
ולהיפך, כל מספר מרוכב מגדיר נקודה במישור.
הנקודות במישור הפכו למספרים שווי זכויות!
מספרים אלה ניתנים לחיבור ממש כמו מספרים רגילים.
.1 + 2i התבוננו בנקודה האדומה, שהינה המספר
, שהיא הנקודה הכחולה. 3 + i נוסיף לה
ובכן, ניתן לחבר אותם
כפי שעושים תלמידי תיכון.
.4 + 3i התוצאה היא
מבחינה גאומטרית זהו פשוט חיבור וקטורים.
אתם רואים, ניתן לחבר מספרים מרוכבים ללא קושי!
אולם מעניין הרבה יותר הוא,
שמספרים מרוכבים אלו ניתנים גם להכפלה,
ממש כמו המספרים הממשיים.
ראו...
אנו יודעים לכפול מספר מרוכב ב-2, למשל.
שווה כמובן 1 + i שתיים כפול
וכולי. 2 + 2i
מבחינה גאומטרית, כפל ב-2 הינו פשוט:
זוהי פשוט מתיחה פי שניים.
אם נכפול בשתיים את הנקודה האדומה, התוצאה היא הנקודה הירוקה!
אינו מסובך יותר i כפל ב-
כיוון שאנו יודעם שזהו פשוט רבע סיבוב.
, i ב-3 + i כדי לכפול את
מספיק לכן לסובב את הנקודה רבע סיבוב.
. -1 + 3i קיבלנו
לא מסובכים כל כך, המספרים המרוכבים האלו!
לבסוף, נוכל לכפול שני מספרים מרוכבים
כלשהם זה בזה ללא קושי.
. -1 + 2.4i ב-2 + 1.5i הבה ננסה למשל לכפול
ננהג כרגיל,
ונחבר את התוצאות. 1.5i נכפול ראשית ב-2 ואז ב-
נקבל :
"שתיים כפול וכולי..."
קיבלנו אם כן
-2 + 4.8 -1.5i + 3.6i * i
בריבוע שווה 1-, i אולם נזכור כי
שהרי בדיוק לשם כך המצאנו אותו!
מכאן:
-2 + 4.8i - 1.5i - 3.6
הבה נארגן את כל זה:
-2 - 3.6 + 4.8i - 1.5i
כלומר,
-5.6 + 3.3i
אם כן, אנו יודעים
לכפול מספרים מרוכבים זה בזה,
או במילים אחרות, אנו יודעים לכפול נקודות במישור!
זה לא יאמן!
חשבנו שלמישור שני ממדים,
כיוון שנדרשים שני מספרים
לתיאור נקודה כלשהי,
וכעת אני אומר לכם שמספיק לכך מספר אחד!
כמובן, שינינו את המספרים!
מדובר כעת במספרים מרוכבים!
זה הזמן להגדיר שני מושגים:
הערך המוחלט והארגומנט של מספר מרוכב.
הערך המוחלט של מספר מרוכב
הינו פשוט המרחק מהראשית אל הנקודה המתאימה במישור.
ניעזר בסרגל ונמדוד את הערך המוחלט של הנקודה האדומה,
. 2 + 1.5i כלומר
.2.5האורך הוא
.2.5הוא 2 + 1.5i כלומר, הערך המוחלט של
2.6. לנקודה הכחולה, נקבל
ולנקודה הירוקה, שהיא מכפלתן
של הנקודות האדומה והכחולה,
נקבל 6.5.
זו עובדה כללית: הערך המוחלט של מכפלת שני מספרים מרוכבים
הינו פשוט מכפלת הערכים המוחלטים שלהם.
הארגומנט של מספר מרוכב
נמדד על ידי הזווית בין הציר האופקי
והישר המחבר בין הנקודה לראשית.
למשל, הארגומנט של המספר המרוכב האדום
הוא 36.8 מעלות.
מעלות. 112.6 הארגומנט של הנקודה הירוקה הוא
מעלות: 149.4 הארגומנט של מכפלתם, הנקודה הירוקה, הוא
זהו סכום הארגומנטים של שני המספרים...
כאשר כופלים שני מספרים מרוכבים זה בזה,
הערכים המוחלטים נכפלים, והזוויות נסכמות.
נסיים את מפגשנו הראשון עם המספרים המרוכבים
בהטלה הסטראוגרפית.
הבה ניקח ספרה המשיקה לשולחן בראשית.
בעזרת ההטלה הסטראוגרפית,
לכל נקודה במישור השולחן,
כלומר לכל מספר מרוכב,
מתאימה נקודה על פני הספרה.
רק לקוטב הצפוני,
כלומר, לנקודה ממנה אני מטיל,
לא מתאים אף מספר מרוכב.
אנו אומרים כי הוא מתאים לאינסוף.
לכן, המתמטיקאים אומרים כי הספרה
הינה ישר מרוכב פרויקטיבי.
מדוע ישר?
כיוון שנדרש מספר אחד כדי לתאר את הנקודות עליה!
מדוע מרוכב?
כיוון שמספר זה מרוכב.
מדוע פרויקטיבי?
כיוון שהוספנו נקודה באינסוף.
משונים, המתמטיקאים הללו,
האומרים שהספרה הינה ישר...