Tip:
Highlight text to annotate it
X
בעיה שראוי להתעמק בה מוכיחה את ערכה כשהיא מחזירה מלחמה שערה.
וזה בדיוק מה שעשה המשפט האחרון של פרמה - הוא החזיר מלחמה שערה.
ואם מדברים על המשפט האחרון של פרמה - המקום הטבעי להתחיל בו הוא פרמה עצמו.
פייר דה-פרמה.
פרמה היה מתמטיקאי שחי ופעל במאה ה-17 בצרפת.
הוא לא עבד כמתמטיקאי, אלא כשופט.
כל ערב הוא חזר הביתה ומתמטיקה הייתה התחביב שלו.
ערב אחד הוא התבונן במשוואה
דומה במקצת למשוואה של פיתגורס, שהיא,
x^2 + y^2 =z^2.
הוא חיפש מספרים שלמים שהם פתרונות של המשוואה.
יש המון מספרים כאלה.
לדוגמה, 2^5 = 2^4 + 2^3 הוא פתרון שלם למשוואה
x^2 + y^2 =z^2. פרמה שאל את עצמו:
"מה יקרה אם נשנה את המשוואה ובמקום להעלות את המשתנים בריבוע,
נעלה אותם בחזקת 3 או בחזקת 4?
האם יש פתרונות למשוואה הזאת? אם כך, אנחנו מדברים באופן כללי על
x^n + y^n = z^n
x^n + y^n = z^n
כאשר n גדול מ-2. האם למשוואה הזאת
יש פתרונות שלמים?" הוא חשב קצת על העניין
ולא הצליח למצוא אף פתרון שלם, אז הוא הלך צעד נוסף הלאה,
ולא הצליח למצוא אף פתרון שלם, אז הוא הלך צעד נוסף הלאה,
ולא רק שהוא לא הצליח למצוא אף פתרון שלם,
הוא האמין שהוא מצא טיעון, הוא האמין שהוא מצא הוכחה
לכך שללא כל ספק, בוודאות מוחלטת,
אין למשוואה פתרונות שלמים. זה די מוזר,
כי יש לנו משוואה אחת x^2 + y^2 = z^2
שיש לה לא רק פתרון אחד, אלא אינסוף פתרונות שלמים.
שיש לה לא רק פתרון אחד, אלא אינסוף פתרונות שלמים
ולעומת זאת יש לנו מספר אינסופי של משוואות: x^3 + y^3 = z^3,
x^4 + y^4 = z^4,
מספר אינסופי של משוואות שכנראה אין להן אף פתרון.
פרמה גילה את ההוכחה וכתב את זה
בשולי ספר שקרא באותו ערב, ספר בשם "אריתמטיקה" מאת דיופנטוס,
הוא כתב בשולי הספר שקרא, "גיליתי הוכחה נפלאה למשפט הזה,
אך השוליים האלה צרים מלהכילה."
או בלטינית Hanc marginis exiguitas non caperet.
במילים אחרות: "אני יודע איך להוכיח שלמשוואה הזאת אין פתרונות,
אבל אין לי די מקום כדי לכתוב את ההוכחה". ואז הוא מת פתאום.
זאת הייתה הוכחה סודית שהוא לא כתב.
ואחרי מותו, בנו, סמואל קלמנט, אם אני זוכר נכון,
מצא את הספר עם ההערה בשוליים:
גיליתי הוכחה נפלאה Demonstrationem mirabilem -
אך השוליים האלה צרים מלהכילה. למעשה הספר מלא
בהערות קטנות ומעצבנות כאלה: "אני יכול להוכיח את זה, אבל צריך להאכיל את החתול",
"אני יכול להוכיח את זה, אבל צריך ללכת לחפוף את השיער".
פרמה היה די מעצבן בנושא הזה.
הבן שלו פרסם גרסה חדשה של הספר
"האריתמטיקה" מאת דיופנטוס עם כל ההערות של פרמה
מודפסות בתוך הטקסט. אנשים קראו את ההערות האלו
וחשבו לעצמם, "פרמה אמר שהוא יכול להוכיח את זה - בואו ננסה!"
ובזו אחר זו אנשים גילו מחדש את ההוכחות החסרות.
ובכל מקרה שבו פרמה אמר "יש לי הוכחה", הוא צדק,
הייתה הוכחה,
חוץ מהמקרה הזה.
המשפט האחרון של פרמה נקרא "המשפט האחרון של פרמה"
כי הוא המשפט האחרון שנשאר להוכיח. וכמובן, היות שזה היה המשפט האחרון
שנשאר להוכיח
הוא הפך למשפט הכי נחשב והכי נחשק.
וככל שאנשים ניסו, וככל שאנשים נכשלו כך הפך המשפט יותר ויותר קסום.
העסק נמשך עשרות ומאות שנים
עד למאה ה-20. אנשים השתוקקו
לגלות מחדש את ההוכחה של פרמה.
בריידי הרן: האם הדעה הנפוצה הייתה שהוא הצליח, או שהיו ספקות
אם הוא דיבר אמת? סיימון סינג: אני חושב שבמאה ה-20 כבר היה די ברור
שזאת בעיה מורכבת ביותר.
קל להציג את השאלה בכמה שרבוטים,
קל לתאר את הבעיה.
אין ספק שההוכחה מורכבת,
ולמען האמת, סביר להניח שהיא הייתה מעבר ליכולתו של פרמה.
יש אנשים שחושבים שפרמה עבד עלינו, שזה היה תעלול,
שהוא כתב בספר משהו שהוא ידע שיטריד את מנוחתם של הדורות הבאים.
אני חושב שהסבירות לכך נמוכה.
יש אנשים שחושבים שהייתה לו הוכחה טובה,
ושהיא הייתה יפה ואלגנטית ובכלים של המאה ה-17,
ואנחנו יכולים לגלות מחדש את ההוכחה הזאת אבל אנחנו פשוט לא מספיק חכמים.
אני חושב שזה אפשרי אבל בלתי סביר.
אני חושב שההסבר הסביר ביותר הוא
שפרמה חשב שיש לו הוכחה. אבל מאחר שהוא עבד לבדו
ומכיוון שלא הראה את ההוכחה לאף אחד
אף אחד לא היה יכול להגיד לו, "היי, יש לך טעות.
בשורה 3 יש בעיה." זה סביר מאוד, מכיוון שאנחנו יודעים
שבדורות הבאים מתמטיקאים חשבו
שהם מצאו הוכחה. ואז הם פרסמו אותה ואנשים בחנו אותה באופן יסודי
ומצאו את השגיאה.
אם כך - אנחנו לא מחפשים את ההוכחה של פרמה,
שקרוב לוודאי הייתה שגויה - אלא הוכחה כלשהי שתראה לנו
האם פרמה צדק. לסיפור הזה יש סוף טוב.
והסוף מתחיל בילד בן 10
בשם אנדרו ויילס, שיום אחד קרא ספר.
הוא גדל בקיימברידג', הלך לספרייה, ושאל משם ספר בשם
The Last Problem מאת E.T.Bell.
הספר עוסק במשפט האחרון של פרמה.
אנדרו ויילס בן העשר
החליט שהוא יגלה מחדש את ההוכחה החסרה.
ילדים נבונים בני עשר יכולים להבין את הבעיה.
ילדים נבונים בני עשר לא יודעים למה הם נכנסים,
אבל זה כבר סיפור אחר. והוא ניסה,
והוא שוחח עם המורים שלו על הבעיה,
הוא שוחח עם מורי בית הספר שלו על הבעיה, והוא הגיע לאוניברסיטה
ושוחח עם המרצים לתואר ראשון על הבעיה.
הוא הוסמך לדוקטור ועדיין הבעיה לא נתנה לו מנוח.
כשאנדרו היה כמעט בן 40 הוא היה פרופסור בפרינסטון.
הייתה ידועה אז השערה בשם השערת טניאמה-שימורה,
שאנחנו ממש לא רוצים להיכנס אליה כעת.
ההשערה נולדה בשנות ה-50. השערה היא רעיון
שאנחנו לא יודעים אם הוא נכון, אבל מישהו מניח אותו על השולחן.
מישהו הוכיח שיש קשר בין שתי ההשערות האלה.
משהו כמו: אם מצליחים להוכיח את רוב ההשערה של טניאמה-שימורה,
מקבלים בחינם את המשפט האחרון של פרמה. כלומר, איכשהו המשפט האחרון של פרמה
כלול בתוך ההשערה השנייה.
תשוקת הילדות של אנדרו ויילס, הדחף הכפייתי שלו מהילדות, ניצתו מחדש,
הוא חשב שכדאי לנסות את השערת טניאמה-שימורה.
הוא רצה להתעמק בהשערה הזאת.
אבל מכיוון שזה היה רעיון משוגע, מכיוון שהאתגר נראה בלתי סביר
ושאפתני ביותר, ויילס הסתיר את העניין.
הוא עבד בסודיות מלאה.
הוא התחיל להעדר מישיבות סגל,
הגיע פחות ופחות למשרד שלו
והתחיל להתמקד מחדש בבעיה הזאת.
ושוב, הוא לא התעניין בהשערה של טניאמה-שימורה אלא רק בכך
שבזכותה הוא יקבל את המשפט האחרון של פרמה.
במשך שבע שנים הוא עבד בסודיות מלאה.
אחרי שבע שנים הוא גילה פתאום
שיש לו הוכחה לטניאמה-שימורה, ושאם יש לו הוכחה לטניאמה-שימורה,
אז יש לו הוכחה למשפט האחרון של פרמה. הוא הלך לקיימברידג' והציג את ההוכחה על הלוח,
אז יש לו הוכחה למשפט האחרון של פרמה. הוא הלך לקיימברידג' והציג את ההוכחה על הלוח.
ההרצאה נערכה בשלושה חלקים, העולם הריע,
הוא הופיע בעמוד הראשון של הניו יורק טיימס,
הוא הופיע ב-CNN, הוא הופיע בכל מקום. אבל העוקץ בסיפור הוא
שכל הוכחה מתמטית דורשת בדיקה.
צריך להגיש אותה לבדיקה ולפרסום. ובתהליך הבדיקה
מישהו מצא טעות. ויילס הניח שהוא יכול לתקן אותה,
אבל ככל שניסה להתיר את הבעיה העניינים הלכו והסתבכו.
העסק הפך לעסק ביש. כבר הכתירו אותו
כמתמטיקאי הדגול ביותר של המאה ה-20,
הוא כבר הפך לגיבור נערץ, ועכשיו הוא היה צריך להודות שהייתה לו טעות.
הדבר ארך שנה שלמה, אבל בסוף אותה שנה
אנדרו וולס ועוזרו, מישהו בשם ריצ'רד טיילור,
הצליחו לתקן את ההוכחה. אני חושב שהעסק הזה דומה
לסרט "שליחות קטלנית", שאני אוהב לדון בו. בדיוק כשאתם חושבים
שחיסלתם את המפלצת, שהרגתם את המחסל, הוא קם לתחייה
וצריך להילחם בו מחדש.
מתמטיקאי בשם פייט היין
כתב פעם: "בעיה שראוי להתעמק בה,
מוכיחה את ערכה כשהיא מחזירה מלחמה שערה." וזה בדיוק מה שעשה המשפט האחרון של פרמה.
הוא החזיר מלחמה שערה.
אבל ויילס הצליח להכניע אותו. וויילס הוכיח כמובן
שפרמה צדק,
שלמשוואה x^n + y^n = z^n, כש-n גדול מ-2,
אין פתרונות שלמים וזה סוף הסיפור.
בריידי הרן: אם תרצו לצפות בחלקים נוספים של הריאיון הזה עם סיימון,
יש לי קטעים נוספים ממנו.
אני אשים קישור בתיאור. סיימון גם כתב ספר
על המשפט האחרון של פרמה, ואני ממליץ עליו.
תוכלו למצוא קישורים למטה. בדיוק השבוע הוא הוציא ספר חדש
שהנושא שלו, שימו לב, הוא המתמטיקה של "משפחת סימפסון".
אני חושב שכל מי שאוהב את Numberphile יאהב אותו.
אני אוסיף קישור למטה. בנוסף ערכתי איתו ריאיון
על המשפט האחרון של פרמה ב"משפחת סימפסון",
ואני חושב שתהנו ממנו ובקרוב אפרסם אותו ב-Numberphile.
ובינתיים יש המון קישורים למטה. אוסיף גם קישור למאמר של ויילס,
ולעוד כמה דברים שאני רוצה שתראו,
אז כדאי לכם להציץ.