Tip:
Highlight text to annotate it
X
כפי שיודע כל תלמיד גיאומטריה בעבר ובהווה,
אבי הגיאומטריה היה אאוקלידס,
מתמטיקאי יווני שחי באלכסנדריה שבמצרים
בערך בשנת 300 לפני הספירה.
אאוקלידס נודע כמחברה
של עבודה יחידה במינה ורבת-השפעה בשם "יסודות".
חשבתם שספר המתמטיקה שלכם גדול?
"יסודות" של אאוקלידס כוללת 13 כרכים ויש בה אך ורק גיאומטריה.
ב"יסודות", אאוקלידס ארגן והשלים
את עבודתם של מתמטיקאים רבים שפעלו לפניו,
כמו פיתגורס, אאדוקסוס, היפוקרטס ואחרים.
כמו פיתגורס, אאדוקסוס, היפוקרטס ואחרים.
כמו פיתגורס, אאדוקסוס, היפוקרטס ואחרים.
כמו פיתגורס, אאדוקסוס, היפוקרטס ואחרים.
אאוקלידס ארגן את הכל כמערכת לוגית של הוכחות
שהוקמה על יסוד מערך של הגדרות, רעיונות מקובלים,
שהוקמה על יסוד מערך של הגדרות, רעיונות מקובלים,
וגם חמשת האקסיומות המפורסמות שלו.
ארבע מאקסיומות אלה הן פשוטות וברורות,
לדוגמה, בין שתי נקודות עובר קו ישר.
ההנחה החמישית, לעומת זאת, היא הזרע ממנו צומח סיפורנו.
האקסיומה החמישית המסתורית ידועה
בשם הפשוט "אקסיומת המקבילים".
שלא כמו ארבע הראשונות,
האקסיומה החמישית מנוסחת באופן מורכב ביותר.
גירסתו של אאוקלידס קובעת:
"אם קו חותך שני קווים אחרים
באופן שסכום הזוויות הפנימיות
שייווצרו באחד הצדדים של הקו החוצה
קטן מסכום שתי זוויות ישרות,
אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד, הם ייפגשו,
ולכן אינם מקבילים."
חתיכת ניסוח!
הנה הגירסה הפשוטה והמוכרת יותר:
"במישור, דרך כל נקודה שאינה נמצאת על קו נתון,
יכול לעבור רק קו אחד שיקביל לקו המקורי."
יכול לעבור רק קו אחד שיקביל לקו המקורי."
במהלך מאות שנים, מתמטיקאים רבים
ניסו להוכיח את אקסיומת המקבילים על סמך יתר הארבע,
אך לא הצליחו.
ואגב כך הם החלו לחפש
מה יקרה מבחינה הגיונית
אם אקסיומת המקבילים בעצם איננה נכונה.
אחדים מגדולי המוחות
בדברי-ימי המתמטיקה העלו שאלה זו,
דמויות כמו איבן אל-היית'ם,
עומר כיאם,
נאסיר אל-דין אל-טוסי,
ג'ובאני סאצ'רי
יאנוש בוייאי,
קארל גאוס
וניקולאי לובצ'בסקי.
כולם ערכו ניסויים שנועדו לערער את אקסיומת המקבילים,
אך בסופו של דבר הם גילו שיצרו
המון סוגי גיאומטריה חלופיים.
גיאומטריות אלה נודעו בשם הקיבוצי
"גיאומטריות לא-אאוקלידיות".
נשאיר את הפרטים
הנוגעים לגיאומטריות שונות אלה לשיעור נפרד.
ההבדל העיקרי נעוץ בעקמומיותו
של המישור עליו מותחים את הקווים.
מסתבר שאאוקלידס לא גילה לנו
ב"יסודות" את הכל.
הוא רק תיאר דרך אפשרית אחת
להתבוננות ביקום.
הכל תלוי בהקשר של הדבר בו מתבוננים.
מישורים שטוחים מתנהגים באופן מסוים,
ואילו מישורים בעלי עיקום חיובי או שלילי
מפגינים תכונות שונות ביותר.
בהתחלה, גיאומטריות חלופיות אלה נראו מעט משונות
אך במהרה נתגלה שהן מסוגלות במידה שווה
לתאר את העולם סביבנו.
הניווט בכוכב הלכת שלנו מחייב גיאומטריה אליפטית
ואילו עיקר יצירתו האמנותית של מ"ק אשר
מפגינה גיאומטריה היפרבולית.
אלברט איינשטיין השתמש גם הוא בגיאומטריה לא-אאקולידית
לתיאור האופן בו המרחב-זמן
הופך לעבודה בנוכחותו של חומר
כחלק מ"תיאוריית היחסות הכללית" שלו.
התעלומה הגדולה כאן היא האם לאאוקלידס
היה שמץ של מושג אודות קיומן של גיומטריות חלופיות אלה
כשכתב את האקסיומה המסתורית שלו.
ייתכן שלעולם לא נדע את התשובה לשאלה זו,
אבל קשה להאמין
שלא היה לו שום מושג בנוגע לטיבן,
לאור חוכמתו הרבה
והבנתו המופלגת בתחום הגאומטריה.
אולי הוא ידע
וכתב את אקסיומת המקבילים בכוונה באופן
שיגרום למוחות הסקרניים שיבואו אחריו
למצות ממנה את הפרטים הקטנים.
אם כן, הוא ודאי מרוצה מאד.
גילויים אלה מעולם לא היו מתאפשרים
ללא הוגים מוכשרים ונאורים
שהצליחו להשעות את דעותיהם המוקדמות
ולחשוב מחוץ למסגרת של מה שלימדו אותם.
גם אנו צריכים לפעמים להיות מוכנים
להניח בצד את דעותינו המוקדמות ואת חוויותינו המוחשיות
ולראות את התמונה השלמה,
אחרת אנו מסתכנים בכך שלא נראה את כל האמת.