Tip:
Highlight text to annotate it
X
בסרטון זה אני רוצה להכיר לכם את המושג גבול- שהוא מושג סופר חשוב
זה הרעיון שעליו מתבסס כל החשבון האינפיטיסימאלי.
אבל למרות שהמושג הוא כה חשוב האמת היא שהמושג הוא מאד מאד פשוט.
אז בואו נשרטט פונקציה, למעשה בואו נגדיר לפני כן פונקציה
סוג של פונקציה פשוטה למדי. נגדיר את אף של אקס, נאמר שזאת תיהיה פונקצית השבר שאני משרטט כאן
אבל אולי תאמרו לי- הי סאל ראה יש לי את אותו הביטוי במונה ובמכנה
אם יש לי משהו שמתחלק בעצמו, זה יהיה פשוט שווה לאחת! אי אפשר פשוט לרשום f(x)=1?
ואז אני אומר לכם "ובכן, זה כמעט נכון, ההבדל בין f(x)=1 לדבר
כאן, הוא זה שהדבר הזה לא מוגדר כש-X=1. אז אם, תנו לרשום את זה - אם יש לכם
(1)f, מה קורה? במונה יש לנו (1-1) שהוא...
במונה יש לנו 0, ובמכנה יש לנו (1-1), שהוא גם 0. וכל דבר שמחלקים
ב-0, כולל 0/0, לא מוגדר. אז אפשר לפשוט - נאמר פשוט שזה
שווה ל-f(x)=1, אבל אז נאלץ להוסיף את המגבלה הזאת ש-x לא יכול להיות שווה ל-1. עכשיו זה
וזה הם שווים. שניהם יהיו שווים ל-1, לכל x שאינו 1.
אבל בx=1, הוא נהיה לא מוגדר. זה לא מוגדר, וזה לא מוגדר. אז איך נשרטט את הפונקציה הזו בגרף?
אז אני אשרטט את זה... זה ציר ה-y שהוא בעצם (f(x וזה הוא ציר ה-x. ואז בואו נאמר
שזו נקודה x=1, וזו נקודה x=-1, זו y=1. וכאן זה -1
אבל הוא לא רלוונטי לפונקציה הזו. תנו לי לשרטט את זה. אז זהו בעיקרון
לכל x שונה מ-1, f(x)=1. אז זה ייראה ככך... חוץ מב-1. ב-1, f(x) לא מוגדר, אז
אני אשים פה חור. העיגול הזה יסמן שהפונקציה הזו
לא מוגדרת - אנחנו לא יודעים למה הפונקציה הזו שווה ב-1, מעולם לא הגדרנו את זה.
ההגדרה הזו של הפונקציה לא אומרת לנו מה לעשות ב-1 - היא למעשה לא מוגדרת כש x=1.
אז הפונקציה הזו כאן... שוב, אם מישהו ישאל אתכם מזה f(1), אתם תגידו...
שזה בהגדרת הפונקציה, אתם תחשבו x=1..רגע, יש פה חו בפונקציה
בנקודה הזו, והיא לא מוגדרת. אז תנו לי לרשום את זה...טוב, זה קצת מיותר אבל אני ארשום את זה מחדש.
f של x לא מוגדרת. אבל מה אם אני אשל אתכם למה הפונקציה מתקרבת
ב-x=1? ועכשיו זה מתחיל לגעת ברעיון של גבול. אז ככל ש-x מתקרב ל-1...
למה הפונקציה מתקרבת? ובכן, כל הזמן הזה, למה היא יותר ויותר מתקרבת?
בצד שמאל, לא משנה כמה תתקרבו ל-1, כל עוד אתם לא ב-1, f(x)=1.
כאן מצד ימין, תקבלו אותו דבר. אז תוכלו לומר - וזה יהיה
יותר ויותר מוכר ככל שניתן יותר דוגמות - שהגבול
של x (ו-lim כקיצור של limit) - ככל ש-ס מתקרב ל1 של f(x) שווה ל...
ככל שאנחנו מתקרבים בצורה אינסופית ולא יאומנת ל-1, כל עוד אנחנו לא ב-1...
והפונקציה שלנו תהיה שווה ל-1, היא מתקרבת ומתקרבת ל-1,
היא למעשה 1 כל הזמן הזה. אז במקרה הזה, נוכל להגיד שהגבול כש-ס מתקרב ל-1 של f(x)
הוא 1. אז שוב, יש פה סימנים בומבסטים.. אנחנו פשוט אומרים "תראו, לאן הפונקציה מגיעה
ככל שx מתקרב יותר ויותר ל-1?"
תנו לי לעשות עוד דוגמה שבה אנחנו מתעסקים עם עיכול, כדי שתוכלו לקבל את הרעיון הכללי...
אז בואו נאמר שיש לי פונקציה f(x) - אתם יודעים מה, לשם הגיוון בואו נקרא לזה g(x).
בואו נגיד שיש לנו g(x) שווה ל - אני יכול להגדיר את זה ככה, נוכל להגדיר את זה x²
כש x לא שווה 2, ובואו נגיד שכשx=2, הוא שווה ל-1. אז שוב, יש לנו כאן
פונקציה מעניינת ש - כפי שתראו - לא רציפה לגמריי. היא לא רציפה. תנו לי לשרטט את זה.
אז זהו y=f(x), זה ציר ה-ס כאן. בואו נגיד שז x=1, זה x=2,
זה (-1), זה (-2)...אז בכל מקום מלבד x=2, זה שווה לא x². אז תנו לי לשרטט את זה ככה.
זה יהיה פרבולה. זה נראה משהו כזה. זה ייראה משהו כמו...
תנו לי לשרטט גרסה יותר טובה של הפרבולה. אז זה נראה כמו משהו כזה. זה לא הפרבולה הכי יפה
שצוירה בהיסטוריה של פרבולות מצוירות, אבל זה ייתן לכם מושג של איך נראית
פרבולה, בתקווה. זה צריך להיות סימטרי... תנו לי לשרטט את זה שוב, כי זה די מכוער.
זה נראה יותר טוב. אוקיי, הנה.
עכשיו, זה צריך להיות גרף של רק x², אבל זה לא x² כש x=2. אז שוב, כש x=2,
צריך שיהיה לנו פה קצת אי-רציפות כאן, אז אני אצייר חור כאן.
מפניי שכש x=2, הפונקציה שווה ל-1.
אני לא עושה אותם באותו קנה מידה...בפונקציה f(x)=x² זה היה 4, זה זהיה 2,
זה היה 1, זה היה 3. אז x=2, הפונקציה שווה ל-1.
אז זו פונקציה די מוזרה, אבל אתם יכולים להגדיר אותה ככה. אתם יכולים להגדיר אותה
איך שתרצו להגדיר אותה! ותראו שזה בדיוק כמו הגרף של f(x)=x² חוץ מכאשר תקבלו 2,
יהיה לכם חור, מפניי שאתם לא מתמשים בg(x)=x² כש- x=2, אתם משתמשים ב "g(x)=1".
אני אמרתי f(x), אני מתנצל על זה.
אתם משתמשים בg(x)=1, אז בדיוק ב-2, זה "נופל" ל-1. ואז זה ממשיך עם x².
אז הנה כמה דברים. אם הייתי סתם מעריך את הפנקציה - g(2),
אז תסתכלו בהגדרה. אוקיי, כש- x=2, אני משתמש בסיטואציה הזאת.
והיא אומרת לי שהיא תהיה שווה ל-1. תנו לי לשאול שאלה מעניינת יותר או אולי
שאלה מעניינתך יותר. מה הגבול כש-x מתקרב ל-2 בg(x)? שוב רישום בובמסטי, אבל
זה שואל משהו מאוד מאוד פשוט. זה אומר "ככל שx מתקרב יותר ויותר ל-2...
ככל שאתם מתקרבים - וזו אינה הגדרה מדוייקת, נעשה את זה בסרטון בהמשך -
ככל ש-ס מתקרב יותר ויותר ל-2, למה מתקרב g(x)? אז אם אתם מגיעים ל1.9 ואז ל 1.999, ואז ל 1.999999
ואז ל- 1.9999999, למה g(x) מתקרב? אם תלכו מהכיוון החיובי
אם, תגידו 2.1, מהו g(2.1)? מהו g(2.01)? מהו g(2.001)?
לאן הוא מגיע ככל שאנחנו מתקרבים ומתקרבים?
ותוכלו לראות את זה ויוזאלית ע"י שרטוט הגרף. ככל שg מתקרב ומתקרב ל-2...
ואם נקוב אחרי הגרף, נראה שאנחנו מגיעים ל-4,
למרות שזה לא איפה שהפונקציה נמצאת - הפונקציה "נופלת" ל-1 - הגבול של g(x) ככל
ש-x מגיע ל-2 שווה ל-4. תוכלו אפילו לעשות את זה חשבונית בעזרת מחשבון.
ותנו לי לעשות את זה, מפניי שאני חושב שזה יהיה מעניין. אז תנו לי להוציא מחשבון...
אני אוציא את הTI-85 שלי... אז הנה המחשבון שלי...ותוכלו להגיד חשבונית,
אוקיי, למה הוא מגיע ככל שמתקרבים לx=2? בואו ננסה 1.9. לx=1.9, תשמשו בזה
פה למעלה. כך שיהיה לכם 1.9², ותקבלו 3.61.
ובכן, מה אם תתקרוב ל2? כך ש-1.99, אני אעלה את זה בריבוע,
אז נקבל 3.96. מה אם נחשב 1.999 ונעלה את זה בריבוע?
אז אני אקבל 3.996. שימו, לב שאני מתקרב לנקודה שלנו.
אם אני אתקרב ממש קרוב - 1.999999999999², מה אני אקבל? זה לא יהיה
בדיוק 4 - המחשבון פשוט מעגל אותו, מפניי שהמספר ממש ממש
ממש קרוב ל-4. ונוכל לעשות משהו מהכיוון החיובי ולמעשה
נקבל את אותו מספר. מתחת - מה שאנחנו מנסים להגיע אליו
ומלמעלה - מה שאנחנו מנסים להגיע אליו. אז אם ננסה את 2.1², נקבל 4.4...
תנו לי לעשות עוד כמה צעדים...
2.0001². עכשיו זה הרבה יותר קרוב ל2. עכשיו אנחנו הרבה יותר קרובים ל-4.
אז ככל שנתקרב ל-2, ככה נהיה קרובים יותר ל-4.
אז שוב, זאת דרך מספרית לראות שהגבול, ככל ש-x מתקרב ל-2 משני הכיוונים
של g(x), למרות שבנקודה 2 הפונקציה שווה ל-1, מפניי שהיא לא רציפה -
הגבול ככל שמתקרבים ל-2, אנחנו מתקרבים יותר ויותר ל-4.