Tip:
Highlight text to annotate it
X
כעת כשרכשנו הבנה נאותה
של משפט הסנדוויץ', נשתמש בכך כדי להוכיח שהגבול -- אני
אשתמש בצהוב -- הגבול כאשר איקס שואף ל0 של סינוס
איקס חלקי איקס שווה ל1.
כעת אתם בטח מלאים ציפייה, כי
אמרתי את זה כל כך הרבה פעמים.
אז בואו נעשה זאת, ובעצם, נשתמש ב -- כמובן,
יש להם את הטריגונומטריה -- וזאת בעצם הוכחה חזותית.
אז תנו לי לצייר לפחות את הרביעים הראשון והרביעי
של מעגל היחידה.
אני אעשה את זה במגנטה.
בואו נראה, תנו לי לראות אם אני יכול -- אני צריך
לצייר את זה די גדול.
תנו לי לראות.
אני צריך לצייר את זה די בגדול.
אז אני אצייר את זה כך.
זה קרוב מספיק.
ואז תנו לי לצייר את הצירים.
אז זהו ציר האיקס, ייראה בערך כך.
סליחה, זה הוא ציר ה-y.
הנה לכם.
ואז ציר האיקס, משהו כזה.
זהו מעגל היחידה שלנו.
הרי לכם.
כעת תנו לי לצייר כמה דברים אחרים.
תנו לי לצייר -- טוב, זה רדיוס, אבל אני מתכוון
ללכת מעבר למעגל היחידה.
אז בואו נלך לשם.
נצייר עוד כמה דברים, רק בשביל להגדיר את הבעיה הזאת.
לא, זה לא מה שרציתי לעשות.
אני רוצה לעשות את זה בדיוק מהנקודה הזאת.
בדיוק כך.
ואז בדיוק מהנקודה הזאת, אני רוצה לעשות כך.
ואז אני רוצה לצייר עוד אחד מהנקודה הזאת.
אני הולך לעשות זאת.
וכעת אנחנו מוכנים להתחיל.
אז מה אמרתי?
זהו מעגל היחידה, נכון?
אז אם זהו מעגל היחידה, מה זה אומר?
זה מעגל בעל רדיוס 1.
אז המרחק מכאן לכאן הוא 1.
וכעת אם זוהי הזווית איקס ברדיאנים, מה המרחק
של הקו השכאן?
מה האורך של הקו הזה?
טוב, לפי ההגדרה, סינוס של איקס מוגדר להיות
קואורדינטת y של כל נקודה שהיא על מעגל היחידה.
אז זהו סינוס איקס.
הולך להיגמר לי המקום, אז תנו לי לצייר חץ.
אז זהו -- זהו סינוס של איקס.
עכשיו תנו לי לשאול משהו קצת יותר קשה.
מהו האורך שכאן?
טוב, בואו נחשוב על זה.
מה זה טנגנס?
בואו נחזור להגדרה שלנו לטנגנס לפי ראשי התיבות SOHCAHTOA.
TOA.
הטנגנס שווה לTOA: הצלע ממול כפול הצמודה.
אז מהו הטנגנס של איקס?
טוב, זה יהיה שווה ל-- נוכל לקחת את זה -- אם נאמר
שזהו המשולש הימני, זה יהיה
האורך הזה -- ההיפך -- כפול הצמוד, נכון?
אז בואו נקרא לאורך שכאן, בואו נקרא
לזה o עבור המילה נגדי באנגלית.
אבל מהו האורך של הצמוד?
מהו הבסיס של המשולש הגדול יותר?
טוב, זהו מעגל היחידה, נכון?
אז המרחק מכאן לכאן -- המרחק הזה
גם הולך להיות 1, נכון?
בגלל שהו שוב הרדיוס.
זה 1.
אז הנגדי כפול הצמוד שווה לטנגנס של איקס.
אבל נגדי כפול צמוד -- צמוד הוא פשוט 1, מכון?
אז הצלע הנגדית, הצלע הזאת, הולכת להיות
שווה לטנגנס של איקס.
או דרך נוספת לומר זאת, הטנגנס של איקס שווה
לצלע הזאת כפול 1, או טנגנס של איקס שווה לצלע הזאת.
תנו לי לרשום את זה.
הצלע הזאת שווה לטנגנס של איקס.
כעת בואו נחשוב על השטח של כמה מחלקי
הצורה שציירתי כאן.
אולי הייתי צריך לצייר את זה קצת יותר גדון, אבל אני חושב
שנוכל לעשות זאת.
אז קודם כל תנו לי לבחור משולש קטן יחסית.
בואו נבחר במשולש שכאן.
אני אסמן אותו בירוק.
המשולש שאני מסמן בירוק -- מה
השטח של המשולש הזה?
טוב, זאת יהיה מחצית המכפלה של הבסיס כפול הגובה.
אז זה חצי כפול הבסיס, ששווה ל1.
נכון?
זהו כל המשולש הזה.
ואז מהו הגובה שלו?
הרגע הסקנו שהגובה הזה,
הגובה הוא הסינוס של איקס.
כפול סינוס של איקס.
אז זהו המשולש הירוק שכון, נכון?
עכשיו, מהו השטח של -- לא של המשולש הירוק הזה.
תנו לי לסמן את זה בצבע אחר.
תנו לי לעשות זאת -- או, אני אעשה זאת באדום.
מה השטח של הפיי הזה?
הפיי שכאן.
הפיי הזה.
מקווה שאתם רואים -- טוב, זה לא צבע שונה מספיק.
אז, הפיי הזה שכאן.
או שאני אלך לכאן.
ואז אני ממשיך אל הקשת.
זה קצת יותר גדול מהמשולש שאנו
הרגע בדקנו, נכון?
זה תמיד הולך להיות מעט כגדול יותר, כי זה
מכיל את הזטח בין המשולש לקשת, נכון?
מה השטח של הקשת הזאת?
טוב, אם הזווית היא איקס -- זה איקס רדיאנים -- מה החלק
של זה מתוך כל מעגל היחידה?
טוב, במעגל יחידה שלם יש 2 פיי רדיאנים, נכון?
אז השטח שכאן הולך להיות שווה ל-מה?
זה הולך להיות שווה לחלק איקס של כלל
הרדיאנים של מעגל היחידה, נכון?
אז זה איקס רדיאנים לחלק ל2 פיי רדיאנים
בכל מעגל היחידה.
אז זהו סוג השבר של -- אתם יודעים, אם
השתמשתם במעלות -- השבר שמתקבל הוא חלקי 360
מעלות, כפול השטח של כל המעגל, נכון?
זה אומר לנו מהו החלק של המעגל, ואנחנו
מתכוונים לחלק את זה בשטח של
כל המעגל.
טוב, מה השטח של כל המעגל?
טוב, השטח הוא פיי כפול הרדיוס בריבוע, הרדיוס הוא 1, נכון?
אז שטח המעגל הוא פשוט פיי.
פיי כפול רדיוס בריבוע, רדיוס שווה ל1, אז השטח של המעגל -- אז
השטח של הטריז כאן, הולך להיות שווה ל--
הפיי-ים האלה מתקזזים -- זה שווה לאיקס חלקי 2.
אז המשולש הראשון הקטן, המשולש הירוק הזה
שעשינו, הוא סינוס של איקס.
חצי סינוס של איקס, זהו השטח של המשולש הירוק.
ואז השטח הגדול יותר של הטריז -- שמצאנו
עכשיו -- הוא איקס חלקי 2.
עכשיו בואו ניקח את השטח של המשולש הגדול יותר,
של המשולש הגדול כאן.
וזה יהיה כנראה הדבר הברור ביותר.
אז חצי כפול הבסיס כפול הגובה.
אז זה חצי -- הבסיס הוא שוב 1 -- 1 כפול
הגובה, הוא הטנגנס של איקס.
שווה לחצי הטנגנס של איקס.
עכשיו, צריך להיות ברור מהמבט בסרטוט, ללא שום
חשיבות למיקום שבו ציירתי את הקו העליון, שהמשולש הירוק
הוא בעל שטח קטן יותר משל הטריז הזה, שיש לו שטח קטן יותר
משל המשולש הגדול יותר.
נכון?
אז בואו נרשום אי-שוויון שאומר את זה.
המשולש הירוק -- השטח של המשולש הירוק -- אז חצי
פעמים הסינוס של איקס, זהו השטח של המשולש הירוק -- זה
פחות מהשטח של הטריז.
אז זה איקס חלקי 2.
והם שניהם קטנים מהשטח של
המשולש הגדול, נכון?
שהוא חצי הטנגנס של איקס.
עכשיו מתי זה מתקיים?
זה מתקיים כל עוד אנחנו ברביע הראשון, נכון?
כל עוד אנחנו ברביע הראשון.
בנוסך זה כמעט נכון אם נלך לרביע הרביעי,
חוץ מכאשר סינוס איקס הופך לשלישי, הטנגנס
של איקס נהופך לשלילי, ואיקס הופך לשלילי.
אבל אם ניקח את הערך המוחלט של בהכל, זה עדיין
יתקיים ברביע הרביעי.
כי אם נגיע לערך שלילי, כל עוד ניקח את הערך המוחלט,
אז המרחק עדיין יישמר ועדיין נקבל
שטחים חיוביים ודברים מהסוג הזה.
מכיוון שהמטרה שלי היא לקחת את הגבול כאשר איקס שואף ל0, ואני
רוצה לקחת את הגבול -- כדי שהגבול יהיה
מוגדל בכלליות, זה צריך להתקיים גם מהצד החיובי
ומהצד השלילי.
בואו ניקח את הערך המוחלט של שני הצדדים של זה.
ובתקווה זה יקבל משמעות עבורכם.
אם היינו מציירים את הקו כאן -- וזה יהיה
הסינוס של איקס, וזה יהיה הטנגנס של איקס --- כל עוד
תיקחו את הערך המוחלט של הכל, אתם באופן כללי
עושים את אותו הדבר כמו ברביע הראשון.
אז בואו ניקח את הערך המוחלט של הכל.
וזה לא צריך לשנות שום דבר, במיוחד אם אתם
נמצאים ברביע הראשון.
אולי תרצו לחשוב על כך מעט, מדוע
זה לא משנה כלום ברביע השני.
אז יש לנו את אי השוויון הזה.
בואו נראה אם ניתן לשחק עם זה קצת.
אז קודם כל, בואו נכפול הכל ב2
ונצמצם את החצאים.
אז אנחנו מקבלים שהערך המוחלט של סינוס איקס קטן יותר מהערך
המוחלט של איקס, שבתורו קטן יותר מהערך המוחלט של
הטנגנס של איקס.
אני מקווה שלא בילבלתי אתכם בכך שלקחתי את הערך המוחלט.
אי השוויון שרשמתי מתקיים לגמרי
ברביע הראשון, אבל מכיוון שאני רוצה שהאי שוויון יתקיים
ברביע הראשון והרביעי, כי אני לוקח
את הגבול שכאשר איקס שואף ל-0 משני הצדדים, אני שם את
הערך המוחלט שם.
אז אתם יכולים לצייר את הקו שם ולעשות את כל מה שעשינו
שם ברביע הרביעי, אבל פשוט תיקחו
את הערך המוחלט וזה צריך לעבוד באותו האופן.
בכל מקרה, נחזור לביעה.
אז יש לנו את אי השוויון הזה.
והולך להיגמר לי המקום, אז תנו לי למחוק חלק
מהדברים כאן.
למחוק.
למחוק.
לא, זה לא נמחק.
אוקיי.
זה צריך להימחק.
אוקיי.
אז יכולנו למחוק את כל מה שהביא אותנו לכאן.
אך אסור לנו לשכוח זאת.
זה נותן הרבה מקום.
אוקיי.
אז בואו ניקח את זה, וניקח את הביטוי,
ונחלק את כל הצדדים.
אתם יודעים, ויש לזה שלושה צדדים, שמאלי,
אמצעי וימני.
בואו נחלק את כולם בערך המוחלט של סינוס איקס.
ומכיוון שאנו יודעים שערך המוחלט של סינוס איקס הוא
מספר חיובי, אנו יודעים שסימני האי שוויון האלו
לא משתנים, נכון?
אז בואו נעשה זאת.
אז הערך המוחלט של סינוס איקס לחלק
בערך המוחלט של סינוס איקס, טוב, זה שווה ל-1.
שזה קטן מהערך המוחלט של איקס לחלק
בערך שמוחלט של סינוס איקס.
שבתורו קטן מ-- מהו הערך המוחלט של טנגנס -- אז, כל
מה שאני עושה זה לקחתאת הערך המוחלט של סינוס איקס,
הערך המוחלט של סינוס איקס, הערך המוחלט של סינוס איקס.
אז מה הערך המוחלט של טנגנס איקס חלקי
בערך המוחלט של סינוס איקס?
טוב, טנגנס הוא פשוט סינוס חלקי קוסינוס.
אז זה שווה ל-- אז, פשוט תעשו את החלק שכאן.
זה שווה לסינוס חלקי קוסינוס וכל זה חלקי סינוס.
ואתם יודעים, אתם יכולים לומר שזה אותו דבר כמו
הערך שמוחלט.
והערך המוחלט מחולק בערך המוחלט.
אז מה נשאר לכם?
טוב, פשוט נשאר לכם אחד חלקי -- זה מצטמצם עם
זה, זה הופך ל-1 -- 1 חלקי הערך המוחלט
של קוסינוס איקס.
אז אתם יכולים להרגיש שאנו מתקרבים.
זה נראה מאוד דומה לזה, פשוט הופכי.
אז כדי להגיע לזה, בואו ניקח את ההופכי.
ולהפוך את זה, מה קורה?
טוב, קודם כל, מה קורה כאשר הופכים 1?
טוב, 1 חלקי 1 זה פשוט 1.
אבל כשאתם הופכים את שני צידי האי שהשוויון, אתם מחליפים
את כיוון אי השוויון, נכון?
ואם זה לא נשמע לכם הגיוני, תחשבו על כך.
אתם יודעים, אם אני אומר שחצי קטן מ-2, ואני הופך את שני הצדדים
של זה, אני מקבל ש-2 גדול מחצי.
אז זה בתקווה נותן לכם הכוונה.
אז אם אני הופך את כל צידי אי השוויון, אני
צריך להפוך את כיוון סימני אי השוויון.
אז 1 גדול מהערך המוחלט של הערך של סינוס איקס, לחלק
בערך המוחלט של איקס, שגדול מהערך
המוחלט של קוסינוס איקס.
כעת תנו לי לשאול שאלה.
הערך המוחלט של סינוס איקס חלקי -- טוב, קודם
כל, סינוס איקס חלקי איקס.
האם יש מצב שבו סינוס איקס חלקי איקס -- ברביע
הראשון או הרביעי -- האם יש מצב שבו
סינוס איקס חלקי איקס הוא ביטוי שלילי?
טוב, ברביע הראשון, סינוס איקס הוא חיובי,
וגם איקס חיובי.
אז חיובי חלקי חיובי
הולך להיות חיובי.
וברביע הרביעי, סינוס איקס שלילי, y
שלילי, והזווית שלילית, אז איקס
גם הוא שלילי.
אז ברבחע שרביעי, סינוס איקס חלקי איקס הולך להיות
שלילי מחולק בשלילי.
אז זה הולך להיות חיובי שוב.
אז סינוס איקס חלקי איקס הולך להיות חיובי תמיד.
אז סימני הערך המוחלט הם די זניחים.
אז נוכל לשרום ש-1 גדול מסינוס איקס חלקי איקס.
ואתו ההגיון, ברביעים הראשון והרביעי --
שבהם אנו מתעסקים.
אנו דמתעסקים במינוס פיי חלקי 2 קטן מאיקס, שהוא
קטן מפי חלקי 2.
אז אנו הולכים ממינוס פיי חלקי 2 וכל
הדרך עד פיי חלקי 2.
אז אנו נמצאים ברביעים הראשון והרביעי.
האם קוסינוס של איקס הוא אי פעם שלילי?
טוב, קוסינוס הוא הערך של איקס, והאיקס -- לפי ההגדרה,
וברביעים הראשון והרביעי -- ערכו של איקס
הוא תמיד חיובי.
אז אם זה תמיד חיובי, אנו יכולים להיפטר
מסימני הערך המוחלט, ושפוט לרשום את זה.
ועכשיו, אנו מוכנים להשתמש בכלל הסנדוויץ'.
תנו לי למחוק את כל זה עכשיו.
אז תנו לי לשאול שאלה.
מהו הגבול, כאשר איקס שואף ל-0, של
הפונקציה 1?
טוב, הפונקציה 1 תמיד שווה ל-1.
אז אני יכול לקבוע את הגבול כאשר איקס שואף לאינסוף, הגבול
כאשר איקס שואף לפיי, הכל.
זה תמיד הולך להיות שווה ל-1.
אז כל עוד איקס שואף ל-0, זה שווה ל-1.
ואז מהו הגבול, כאשר איקס שואף ל-0, של קוסינוס איקס?
טוב, גם זה קל.
כאשר איקס מתקרב ל-0, קוסינוס של 0 הוא פשוט 1 -- וכאשר אתם מקבלים,
אתם יודעים, זאת פונקציה רציפה -- אז הגבול הוא 1.
אז אנחנו מוכנים להשתמש בכלל הסנדוויץ'.
כאשר אנו מתקרבים ל-0, כאשר איקס מתקרב ל-0,
הפונקציה הזאת מתקרבת ל-1.
הפונקציה הזו מתקרבת ל-1.
והפונקציה הזו, הביטוי הזה,
הוא נמצא בין השתיים.
ואם הוא ביניהם, כאשר אנו מתקרבים -- זה
מתקרב ל-1 כאשר אנו מתקרבים ל-0, זה מתקרב ל-1 כאשר אנו
מתקרבים ל-0, וזה נמצא שיניהם, אז זה גם צריך
להתקרב ל-1 כאשר אנו מתקרבים ל-0.
אז אנו משתמשים בכלל הסנדוויץ' בהתבסס בזה ובזה.
ואתם יכולים לומר, אתם יודעים, לכן לפי כלל
הסנדוויץ, בגלל שזה נכון, זה נכון, וגם זה נכון,
סינוס איקס חלקי איקס, הגבול כאשר איקס מתקרב ל-0, שווה ל-1.
אז בתקווה זה נתן לכם את האינטואיציה.
זאת דרך נוספת להתבונן בכך, והקו הזה הולך וקטן
כאשר הוא מתקרב ל-0, כאשר איקס מתקרב ל-0,
השטח הזה והשטח הזה מתכנסים, אז השטח שביניהם באופן מסויים
צריך להתכנס עם שניהם.
ואם אתם רוצים לראות זאת בצורה גרפית,
סרטטתי את זה כאן.
תנו לי לראות אם אני יכול לסרטט את זה.
אני אראה לכם את הגרף.
פשוט כדי שתאמינו לי.
אז אמרנו שהאחד הזה תמיד גדול מסינוס איקס, שהוא
תמיד גדול יותר מקוסינוס איקס, בין מינוס פיי
חלקי 2 לפיי חלקי 2.
וכמובן, זה לא מוגדר כאשר איקס שווה ל-0.
אבל אנחנו יכולים למצוא את הגבול.
אז הנה קיבלנו אותו.
הקו הכחול כאן, זאת הפונקציה 1.
זה y שווה ל-1.
הקו הכחול בהיר שכאן הוא קוסינוס איקס.
וזה הגרף של סינוס איקס חלקי איקס.
ואתם יכולים לראות שממש הקלדתי את זה.
אז סינוס איקס חלקי איקס, בין מינוס פיי חלקי 2 ופיי חלקי
2, אוהרביעים הרביעי והראשון, הקו האדום
תמיד נמצא ביניהם.
הוא תמיד בין הקווים הכחול כהה והכחול בהיר.
אז זאת פשוט אינטואיציה של מה שקורה
עם כלל הסנדוויץ'.
אנו יודעים שהגבול, כאשר הקו הכחול בהיר
מתקרב ל-0, הוא 1.
ואנו יודעים שהגבול כאשר הקו הכחול כהה
מתקרב ל-0 הוא 1.
והקו האדום תמיד נמצא ביניהם, אז הוא
גם מתקרב ל-1.
אז הנה לכם.
ההוכחה, בשימוש כלל הסנדוויץ', וקצת
טריגונומטריה ויזואלית, של למה הגבול, כאשר איקס מתקרב ל-0, של
סינוס איקס חלקי איקס שווה ל-1.
אני מקווה שלא בילבלתי אתכם.