Tip:
Highlight text to annotate it
X
סיימון פמפנה: זה ממש מדהים!
למדתי את זה כשהייתי באוניברסיטה, על קיומם
מספרים טרנסדנטלים.
והשם שלהם היה מה שקנה אותי.
כי הייתי ככה.. טרנסדנטלי...
אתה יודע, זה גיל כזה שאתה מאוד מתעניין,
בחוויות חוץ גופיות ודברים כאלה.
אבל הרעיון, שמתמטיקאים העניקו את השם הזה
למספרים, מספרים, המספרים האלה
שכולם מכירים.
כמו פאי, שאפשר לכתוב בשיטה העשרונית.
אתה אף פעם לא תדייק, אבל אבל המספר הזה, שבסך-הכל
מוכר לך,
הוא בעל התכונה הזאת שאפילו לא הכרת.
או-קיי, אנחנו הולכים לשחק משחק, ואנחנו הולכים לנסות
להבין מהם מספרים טרנסדנטליים באמצעות המשחק הזה.
המשחק הוא צמצום מספרים לאפס.
וזה מה שצריך לעשות...
אז החוקים הם: אתה יכול להשתמש רק במספרים שלמי,
ואתה יכול להוסיף, להחסיר, לחלק, להכפיל, ולהעלות את הכל
באיזו חזקה שמתחשק לך, אבל זה חייב להיות חזקה
של מספר שלם.
בסדר, אז בוא נשחק.
או-קיי, אז יש לך איזה מספר מועדף?
בריידי הראן: טוב, אני אוהב את המספר עשר.
סיימון פמפנה: עשר?
בריידי הראן: כן, אבל זה נראה לי מספר פשוט מדי.
סיימון פמפנה: אין בעיה.
זה בסדר גמור.
אתה מתכוון עשר, בשיטה העשרונית?
בריידי הראן: עשר בעשרונית.
סיימון פמפנה: בסדר, אין בעיה.
עשר בעשרונית.
או-קיי, בוא נתחיל.
נתחיל את המשחק.
אז אנחנו רוצים לצמצם את זה לאפס,אז הדבר הראשון שאנחנו יכולים לעשות
זה להכפיל את זה באפס.
אבל את זה אתה יכול לעשות עם כל מספר, משום שכל מספר
כפול אפס הור--
בריידי הראן: אפס.
סיימון פמפנה: בינגו.
אתה יכול לעשות את זה, אבל זה לא מעניין במיוחד.
מה, שכן מעניין, זה אם ננסה להשתמש בחוקים האלו
אנחנו יכולים, או-קיי, מה יקרה אם אני אחסיר
מזה עשר?
סיימנו.
אז, הנה.
אז זה נשמע די טריוויאלי, אבל זו דווקא
התחלה טובה.
אז התחלנו במספר שלם, והשתמשנו בהחסרה.
מה לגבי מספר אחר?
מה לגבי שלושה רבעים?
דבר ראשון, בוא בוא נכפיל את זה בארבע.
בסדר, אז הדבר הזה מצטמצם.
ואתה נשאר עם שלוש.
עכשיו אפשר להחסיר מזה שלוש ונקל אפס.
מצויין.
אבל מה לגבי משהו יותר משוגע?
מה לגבי מספר באמת משוגע?
מה עם משהו כמו, השורש המרובע של שתיים?
אני חושב שאתם יודעים קצת על השורש המרובע של שתיים.
בריידי הראן: כן, אנחנו יודעים.
זה לא רציונלי, נכון?
סיממון פמפנה: זה מספר אי-רציונלי
ואי-רציונלי אומר שאי-אפשר לבטא את זה באמצעות שבר פשוט.
אז השורשר הריבועי של שתיים הוא סוג של מספר די מוזר,
וכך הדבר הקטן הזה כאן, אני אומר הרבה, שהדבר הקטן
הזה פה, הוא כמו משפט קטן.
הוא אומר, איזה מספר אשר מוכפל בעצמו, נותן לך
אתה מספר הזה?
ככ אני חושב על סימן השורש הריבועי.
אז אני לא יודע איזה מספר, שמוכפל בעצמו, נותן לי
שתיים, אבל זה לא משנה.
עכשיו, מה שנעשה זה ננסה לצמצם את המספר
הזה לאפס, טוב?
תחילה, אנחנו חייבים--
בריידי הראן: או-קיי, את זה, נראה לי אני יכול לעשות.
סיימון פמפנה: טוב, הראה לי.
בריידי הראן: אני חושה שאם נעלה את זה בחזקה--
סיימון פמפנה: כן.
איזו חזקה?
בריידי הראן: בוא נעלה את זה בחזקה של שתיים?
סיימון פמפנה: בדיוק, אז זה
להכפיל אותו בעצמו.
ואז, איזו תוצאת ביניים את מקבל?
בריידי הראן: אתה תקבל שתיים, נראה לי.
סיימון פמפנה: נכון מאוד.
אז עכשיו יש לך שם שתיים, ומה את הולך לעשות?
בריידי הראן: להחסיר שתיים.
סיימון פמפנה: כן!
אז תראה.
אז לקחת מספר אי-רציונלי ועם
המשחק הזה צמצמת אותו לאפס.
מה לגבי השורש הריבועי של מינוס אחת?
עברנו ממספרים שאתה מכיר ואוהב
שברים פשוטים, טוב, לאי-רציונליים.
זה מספרים אי-רציונליים.
עכשיו, עברנו למה שהם קוראים מספרים מרוכבים, או חלק קוראים
להם דמיוניים, שזה שם איום לזה.
טוב, אז מה את יכול לעשות לזה, פה, כדי לנסות
ולצממצם אותו לאפס?
בריידי הראן: טוב, אני רק לרבע אותו ולהוסיף אחת.
סיימון פמפנה: יפה מאוד.
אתה בסדר גמור, חבר.
אז הנה לך.
אז הצלחנו לשחק את המשחק הזה עם שלושה או ארבע
סוגים שונים מאוד של מספרים, די מיוחדים.
אבל מה לגבי משהו אחר?
מה עם השורש הריבועי של שתיים ועוד השורש הריבועי של שלוש?
מה אפשר לעשות עם זה?
אז, בוא נראה.
השורש הריבועי של שתיים ועוד השורש הריבועי של שלוש.
עכשיו אנחנו הולכים לרבע את זה.
טוב, אז יש פה קצת חשבון של תיכון.
שתיים ועוד שתי פעמים זה כפול זה, שזה פעמיים השורש הריבועי של
פעמיים השורש הריבועי של שלוש ועוד זה בריבוע.
אז זה שלוש.
אז זה מצטמצם לחמש ועוד שתיים כפול שורש של שתיים
כפול שורש של שלוש.
טוב, אז זה מה שעשינו.
עשינו את זה שם, אבל תראה מה צץ.
מספר שאנחנו יכולים להשתמש בו, מספר שלם.
אז מה שנעשה זה, שבצד הזה, נעשה חמש ועוש שתיים כפול
שורש ריבועי של שתיים כפול שורש ריבועי של שלוש ועכשיו
נחסיר חמש.
אז, בסוף נקבל שתיים כפול השורש הריבועי של שתיים כפול
השורש הריבועי של שלוש.
וזה טוב, כי אין
סימן חיבור באמצע.
ומה אפשר לעשות עכשיו?
טוב, אנחנו הולכים להעלות את הכל בריבוע.
אז שתיים בריבוע זה ארבע, והשורש הריבועי של שתיים בריבוע, זה שתיים.
והשורש הריבועי של שלוש בריבוע, זה שלוש.
יפה, אז הנקודה הזו היא צורה אחרת לומר "כפול".
אז זה שתי שמיניות, פעמיים ארבע זה שמונה,
שלוש פעמים שמונה, עשרים וארבע, זהו.
אז אם יש לנו עשרים וארבע, תחסיר, בום! הגענו לאפס.
מה שרציתי להראות לך, הסיבה שרציתי להראות לך
את זה, כי כל המספרים השונים האלה, נראים מאוד
מורכבים, לא קשורים, אבל תרשה לי להראות לך.
עכשיו, בוא נחליף את כל המספרים שלקחנו באיקס.
איקס פחות 10 זה 0, ארבע איקס פחות 3 זה 0.איקס בריבוע פחות 2 זה אפס.
איקס בריבוע פלוס 1 זה 0, וזה איקס בריבוע פחות חמש, הכל
בריבוע, פחות 24 שווה אפס, שאם נרחיב
יראה כך.
כל אלה נראים כמו בעיות באלגברה.
אז מה שעשינו במשחק שלנו, בחרנו מספרים, וניסינו
לצמצם אותם לאפס.
אבל את ההפך אנחנו יכולים לעשות כאן, בוא נפתור עבור איקס.
עכשיו, זה מה שמלמדים אותך בבית-הספר.
זה אלגברה, ובמקרה שהמשפחה לה שייכים
כל המספרים האלה, אפילו השורש
של מינוס אחת, היא משפחת המספרים האלגבריים.
אז ממש מצאנו בית לכמה מהכוכבים הגדולים
של המתמטיקה, מספרים שגרמו לבעיות ענקיות
ויריבויות, מה השורש הריבועי של מינוס אחת?
השורש הריבועי של שתיים from עוד מהעת העתיקה,
מתקופת פיתאגורס.
אנשים מתו בגלל המספר הזה.
אבל, איכשהו מצאנו משפחה למספרים האלה
מספרים אלגבריים.
טוב.
אז עכשיו, אנו נצטרך יריעת נייר נוספת.
בחרנו מספרים מסויימים.
מה לגבי מספרים מיוחדים?
מה לגבי e?
המספר הזה פה--
אם אינך מכיר אותו הוא-- המספר הזה הוא
מספר פאנטסטי במתמטיקה.
והמספר הזה אם הוא המצא בפונקצייה, פונקצייה של e בחזקת
איקס, e בחזקת כל מספר, טוב?
על הגרף, כשאתה מצייר את זה כך, ערכי ה-y הם
גם שיפועי המשיק בנקודה.
אז זה מאוד, מאוד, חשוב לגידול טבעי.
זה, ממש מספר פנטסטי.
הוא באמת בעל משמעות רבה בחיים, והוא, למעשה, ממש
מספר סופר משוגע.
סופר, סופר משוגע.
אחד הביטויים שלו, שאני יכול להראות לך, הוא למעשה
סכום אין-סופי.
אז, אני הולך להדהים אותך.
זה 1 ועוד 1 חלקי 1 ועוד 1 חלקי 2 ועוד 1 חלקי 6 ועוד אחת חלקי 20 --
בכל מקרה, זה נמשך לנצח נצחים.
אבל האם אנו יכולים לשחק את המשחק עם המספר הזה?
האם אנו יכולים לצמצמם את המספר הזה לאפס עם החוקים
של המשחק שלנו?
בריידי הראן: האם אפשר לעשות זאת עם אלגברה?
סיימון פמפנה: האם אנו יכולים לשעות זאת עם אלגברה?
בדיוק.
בריידי הראן: בסדר.
אפשר?
סיימון פמפנה: טוב, במשך שנים על-גבי שנים, e נמצא
איתנו במשך ארבע-מאות שנים.
איש לא ידע.
כלומר, המספר הזהis מאוד, מאוד
חשוב ואף-אחד לא ידע.
וקרה שאנחנו לא יכולים.
בריידי הראן: אי-אפשר לעשות זאת.
סיימון פמפנה: אי-אפשר לעשות זאת, ואני אראה לך מדוע.
טוב, אני אנסה להראות לך מדוע, משום שזה
למען האמת, די טריקי.
אבל זה היה בחור בשם צ'ארלס הרמייט והוא
הראה בעיקרון--
בסדר, אז אני הולך להשתמש בסימנים האלה פה, כי אני
לא יודע איך הלוכת להיות הנוסחא.
הוא בעיקרון הראה שאם תנסה לשחק את המשחק, טוב,
להעלות את e בכל חזקה שתרצה, מספרים שלמים
ולהכפיל את זה במספרים שלמים.
אז אם אתה טוען שיש פה איזושהי טיפה של אלגברה
שאתה יכול לצמצם את זה לאפס, הוא הראה שזה יוביל
לסתירה.
בעיקרון, הוא הראה שיש מספר, מספר
שלם שקיים בין אפס לאחת.
ברור, שאין.
ברור, שאין.
אבל זה מה שעושים במתמטיקה, אם רוצים להראות
שמשהו בלתי-אפשרי, אתה סוג של מניח
שזה נכון ואז מראה שזה יוצר
סתירה.
אז זה מדהים.
אז זה מה שהרמייט גילה וזה
ממש, ממש פנטסטי--
כלומר, כולם צריכים להתרגש מזה, כי e הוא
לא אלגברי.
אז איזה מספר זה?
טוב, הוא איכשהו מתעלה (טרנסנד) מעל מעל יכולתינו.
הקטע עם אלגברה הוא איך אנו בונים מספרים.
כאילו, העולם שלנו בנוי עם אלגברה.
כאילו, כל מספר שאתה מתעסק איתו בחיי
היום-יום, קשור איכשהו באלגברה.
אתה בסך-הכל מחבר, מחסר, מחלק, מעלה בחזקה,
אבל e הוא לא.
אז איכשהו הוא מתעלה מעל המתמטיקה.
אז כך הם קראו להם . e הוא טרנסדנטלי (מתעלה).
זה למעשה [INAUDIBLE]
מראה לך חוץ מ-e.
אתה יודע למה, משום ש--
טוב, זה די מעניין העניין הזה.
e לא היה המספר הטרנסדנטלי הראשון.
הם גילו מספר טרנסדנטלי,
ליאוויל, אני חושב, היה שמו, גילה
מספר טרנסדנטלי די הרבה זמן לפני זה, שלושים שנים
לפני זה.
אבל זה היה באמצעות, בנייה.
אז הוא ממש ניסה למצוא מספר שמתבסס על החוקים
של המשחק, שלא מתאים.
מה שמיוחד הוא ש-e כבר, כבר היה
סופר סטאר של המתמטיקה, e.
כאילו, אנשים הכירו אותו.
אז זו הייתה חתיכה נוספת של אינפורמציה.
טבל אז אנשים שאלו את השאלה הזו.
מה לגבי פאי?
ברייד הראן: סופרסאטר.
סיימון פמפנה: הסופרסטאר.
זה הסופרסטאר של המתמטיקה.
בן אלפיים שנים.
מה הוא פאי?
האם פאי אלגברי או טרנסדנטלי?
אז, אתה חייב להבין שכמתמטיקאי,
או-קיי, אתה אוהב את פאי.
כאילו, זה בא עם התפקיד.
אתה לא יכול שלא לאהוב את פאי.
אז העניין, הוא שאתה, באמת, יכול להוסיף
לידע כל פאי.
אתה יכול להוסיף משהו חדש, שהוא מדהים.
כלומר, אני אמות אדם מאושר אם אוכל לעשות זאת.
אז עלתה השאלה הזו מה לגבי פאי?
האם הוא אלגברי או טרנסדנטלי?
וזה היה, בערך בשנות השמונים של המאה התשע-עשרה שבחור בשם
ליינדמן, ממש מצא את התשובה.
הוא הראה, ושוב, זה דבר מאוד טריקי, מה שהוא
הראה, הוא הראש ש-e בכל חזקה של מספר אלגברי הוא
טרנסדנטלי.
אז כדוגמא, e בחזקת 1, e.
זה דבר טוב, כי e אמור להיות טרנסדנטלי,
כי זה כבר הוכח בעבר.
וכי 1 הוא אלגברי.
המספר החביב עליך, בריידי, e בחזקת 10.
זה טרנסדנטלי, נכון?
e בחזקת השורש הריבועי של 2, e בחזקת i.
נכון?
מה לגבי פאי?
אז איך אתה יכול להשתמש בעובדה הזו, e בחזקת a, כש-a הוא
מספר אלגברי, יוצא טרנסדנטלי?
איך אתה יכול להשתמש בעובדה הזו להראות שפאי הוא
טרנסדנטלי?
או-קיי, אז העניין הוא כזה.
שוב, זו הוכחה על-ידי סתירה.
אז, זה מה שהוא עשה.
הוא אמר, נניח כי פאי הוא אלגברי.
אז פאי הוא אלגברי.
זה אומר שיש נוסחא לחשב את זה.
טוב, ומה הנוסחא?
מי יודע?
כי היא לא קיימת.
אך כדוגמא, אם אתה מהנדס, את תאמר, הו,
כן, פאי, 22 חלקי 7.
נכון?
או-קיי, מגניב.
אז זה אומר שפאי כפול 7 פחות 22 שווה 0.
נכון?
כדוגמא.
זה לא נכון, דרך-אגב.
אני לא טוען שזה נכון בשום אופן.
שלא תעזר לערוך את זה ולומר שסיימון חושב זשה נכון.
זה לא נכון.
פאי, 22 חלקי 7.
פאי, 22 חלקי 7.
אני יודע את פאי כמה ספרות אחר הנקודה, וזה
ברור שזה לא נכון.
ועוד עובדה מעניינת, סתם ככה, עוד קירוב
טוב מאוד של פאי זה השורש המשולש של 31.
זה באמת די קרוב.
אז זו יכולה להיות נוסחא נוספת.
מה שאומר שאם אנחנו מעלים בחזקת שלוש ומחסרים
שלושים ואחת, זה שווה 0.
טוב, חייבים לאהוב את הנוסחאות המזוייפות האלה.
הנה לב העניין.
הנה לב העניין.
אנחנו הולכים להשתמש בעוד נוסחאת סופרסטארית, או-קיי?
אי בחזקת איי כפול פאי שווה למינוס אחת
אז זו בעצם זהות אוילר.
היא די מפורסמת, לא?
אבל תסתכל עליה.
ראה מה היא אומרת. e בחזקת איי כפול פאי שווה מינוס אחד.
עכשיו, איי כפול פאי, אם אנחנו מניחים שפאי הוא אלגברי, זה אומר שאיי כפול פאי
חייב להיות אלגברי.
אז e מספר אלגברי חייב להיות טרנסדנטלי.
אבל האם מינוס אחת טרנסדנטלי?
הוא, כי אנחנו יכולים לשחק את המשחק, ואנחנו יכולים
לצמצם אותו לאפס.
אז ע"י שימוש בעוד שדרוג מתמטי בנוסחא
שלך, חשוב על זה כאילו שאתה מצלם סרט like
את מצלם סרט מתמטי, ובדיוק הצלחת להשיג
את הכוכב הוליווד הכי גדול בעולם לככב בו.
In your proof.
לככב בהוכחה שלך.
אז ככה זה הולך, e בחזקת איי כפול פיי שווה מינוס אחת.
אם באמת זה היה אלגברי, אז זה יהיה חייב להיות
טרנסדנטלי, מה שאומר שאיי כפול פיי לא יכול להיות אלגברי.
ומי אשם?
טוב, זה לא השורש הריבועי של מינוס אחת.
זה פאי.
אז פאי לא יכול להיות אלגברי, אז פאי חייה להיות
טרנסדנטלי.
אז יש פה משהו מאוד טריקי, וזו הסיבה
שאני אוהב את זה.
כי בחלקים הטריקיים מתחבאת כל
המתמטיקה האדירה.
במתמטיקה, שלמות חשובה ביותר.
אבל, כל מי שמשתמש במתמטיקה--
בפיזיקה וכימיה, או מה שלא יהיה שאתה רוצה לעשות--
אז הם יכולים להשתמש בקירובים.
אני לא מעוניין בקירובים.