Tip:
Highlight text to annotate it
X
שלום! היום נערוך היכרות עם המספר i,
הידוע גם בשם היחידה המדומה. מספר זה
שונה מכל מה שאתם מכירים. זה מספר מוזר
ביותר, מוזר אף יותר מכמה מהמספרים
המוזרים האחרים המוכרים לנו במתמטיקה,
כמו פַּי או e. למספר זה אין ערך מוחשי במובן
שבו אנחנו רגילים להגדיר מספרים. "i" מוגדר
כמספר שריבועו שווה למינוס 1. זו ההגדרה
של "i", ויש לה השלכות מעניינות ביותר.
לפי הגדרה אחרת, המספר "i" שווה לשורש
הריבועי החיובי של מינוס 1, וגם זה קביל ואף
יכול להיראות לכם הגיוני. אם מספר בריבוע
שווה ל-1-, יכול להיות שהמספר שווה לשורש
הריבועי החיובי של מינוס 1. נראה כאילו שתי
ההגדרות מביעות רעיון דומה, אך זה לא
לגמרי מדויק. לפי דעה אחרת, הגדרת i
כשורש הריבועי החיובי של 1- מוטעית, אך
למעשה, מי שטוען כך הוא הטועה. יחד עם
זאת, כאשר מדברים על השורש הריבועי
החיובי של מספר שלילי, יש להבין מהי
משמעות הדבר. שורשים כאלה מוגדרים
במונחים של מספרים מדומים ומספרים
מרוכבים, שנלמד עליהם בהמשך. בשלב זה,
נוכל להתעלם מההבחנה בין ההגדרות. נחזור
להגדרת i כמספר שריבועו שווה ל- 1- ונחשוב
על החזקות השונות של i. אפשר לצפות
לתוצאות מוזרות כאשר מעלים בחזקה מספר
מוזר כמו i. מסתבר שיש סדר בבלגן. כפי
שנראה מיד, החזקות של i חוזרות על עצמן
במחזוריות קבועה. נתחיל ב- i בחזקת 0.
כידוע, כל מספר בחזקת 0 שווה ל- 1, ולכן
אפשר לומר שגם i בחזקת 0 שווה ל- 1, וזה
נכון. אפשר להגיע לכך גם מהגדרת i. בכל
אופן, הדבר ברור, כל מספר בחזקת 0, וגם i,
שווה ל-1. נמשיך עם i בחזקת 1. כל מספר
בחזקת 1 שווה למספר עצמו, וזה נכון גם ל- i.
אם נחשוב על משמעות המושג מעריך של
חזקה, נראה שזה באמת הגיוני.
הלאה, i בחזקה שנייה. איך נחשב את החזקה
השנייה של i ?i בחזקה שנייה, או i בריבוע,
שווה, לפי ההגדרה, למינוס 1.
ננסה לחשב את i בשלישית. ניקח צבע אחר.
ובכן, i בשלישית שווה ל- i בריבוע כפול i,
ואנחנו יודעים ש- i בריבוע שווה למינוס 1, כך
ש- i בשלישית שווה למינוס 1 כפול i. שימו לב
לשוויון בין הביטויים 1-, i² ו- 1-. הם שווים זה
לזה. i בריבוע שווה למינוס 1. נכפיל ב- i --
מינוס 1 כפול i שווה למינוס i.
ומה נקבל אם נעלה את i בחזקה רביעית?
נמשיך כאן למעלה. i ברביעית.
באותו אופן, i ברביעית שווה ל- i כפול i
בשלישית. למה שווה i כפול i בשלישית?
למה שווה i בשלישית? i³ שווה למינוס i.
הביטוי הזה הוא מינוס i .i כפול i שווה ל- 1-,
אך יש לנו כאן מינוס, כך ש- i כפול i שווה
ל- 1-, ועם סימן המינוס, אנחנו מקבלים 1+.
נרשום זאת. המכפלה הזאת שווה ל- i כפול i-,
וזה שווה למינוס 1 כפול -- שימו לב, פעולת
הכפל היא פעולה חילופית, או קומוטטיבית.
אם מכפילים כמה מספרים, אפשר להחליף
את הסדר ביניהם. ובכן, 1- כפול i כפול i.
הביטוי i כפול i שווה, לפי הגדרתו, למינוס 1.
מינוס 1 כפול מינוס 1 שווה לפלוס 1.
מכאן, i ברביעית שווה בערכו ל- i בחזקת 0.
נראה מה קורה עם i בחמישית.
ובכן, i בחמישית שווה ל- i ברביעית כפול i.
אנחנו יודעים למה שווה i ברביעית. i⁴ שווה
ל- 1. מכאן, i בחמישית שווה ל- 1 כפול i,
או ל- 1i, כלומר, ל- i. גם הפעם מתקבלת
תוצאה מקבילה - זהה לערך של i בחזקת 1.
נמשיך לחשב כדי לראות האם המחזוריות
נמשכת גם בחזקות גבוהות יותר. נחשב את i
בשביעית -- סליחה, טעות -- את i בשישית.
ובכן, i בשישית שווה ל- i כפול i בחמישית.
מצאנו כבר ש- i בחמישית שווה ל- i,
מכאן, i בחמישית שווה ל- i כפול i, שווה, לפי
ההגדרה, למינוס 1. אפשר להמשיך לחשב
עוד ועוד חזקות גבוהות יותר ויותר של i,
ונוכל לראות את מחזוריות הערכים נמשכת.
בסרטון הבא נלמד איך לחשב חזקה אקראית
של i, חזקה גבוהה כלשהי. בינתיים, כדי
לוודא שהמחזוריות באמת נמשכת, נחשב
את החזקה הבאה. i בשביעית שווה ל- i
כפול i בשישית. i בשישית שווה למינוס 1. ו- i
כפול מינוס 1 שווה למינוס i. אם נחשב את i⁸,
נקבל שוב 1.i⁹ שווה, כצפוי, ל- i, וכן הלאה...